적분의 정의를 아주 잘 활용해야하는 퍼즐같은 문제입니다. 꼼꼼하게 케이스에 따라 함수를 선택해가며 어떤 상황에서 x =2에서 최솟값 0이 나올지를 고민하고 추론하시면 충분히 답을 낼 수 있는 문제입니다.
풀이 과정
일단 위의 조건을 이용하여 함수가 어떻게 생긴 친구인지 잠시 생각해봅시다. 일단 기본적으로 f(x)는 n-1과 n을 두 근으로 하는 최고차항 계수가 6인 이차함수이며, n은 자연수이므로 어렵지 않게 함수의 모습을 생각해낼 수 있습니다.
이런 식으로 무한히 자연수를 근으로 갖는 함수가 되겠네요.
절댓값이 붙어있으므로 이렇게 함수가 이루어 질 수 있습니다. 결국 문제에서 원하는 바는, 함숫값이 0이 되는 순간에 함수를 갈아 탈 수 있는 함수를 선택하라는 문제입니다.
이제 조건을 이용해 볼까요?
구간 0,4 에서 정의된 함수는 위와 같습니다. 이제 케이스에 따라 함수를 0,4에서 정의를 해봅시다.
그 전에 잠시 0부터 1까지 적분 넓이를 S라고 두고 갑시다. S는 넓이이니 당연히 양수입니다.
이제부터 위의 함수를 선택해가며 개형을 자신의 입맛대로 연속이 되게끔 그려주면 되겠습니다.
예를 들면 뭐 이런 느낌으로 말이죠. 일단 조건에서 x = 2에서 0이 되어야 하니 x = 2에 대하여 함수가 대칭 구조로 이루어져야 되겠습니다.
일단 첫 번째 케이스인데요 위의 케이스에서는 x = 3일 때 문제가 생기게 됩니다.
-3S에서 -S를 빼버린다면 결과는 -2S로 음수가 나오며 함수의 최솟값이 0이 되지 않기 때문입니다.
이 경우 역시 크게 달라지지 않는데 x = 1 일때 S - 3S가 되버리므로 -2S 역시 마찬가지로 최솟값이 0에서 정의되지 않습니다.
사인 함수처럼 이렇게 잘 그려보면 어떨까요?
x = 1 일때 S + S = 2S
x = 3 일 때 S + S = 2S
실수 전체 구간에서 0 또는 양수가 되는 모습을 알 수 있습니다.
즉 우리가 원했던 함수의 개형은 이와 같으니
정답을 구해주면 되겠습니다.
2분의 1부터 4까지 적분을 하라고 했으니
대칭을 잘 활용해주면 우리가 구하려는 넓이는
이와 같겠네요.
최고차항의 계수가 6인 이차함수에다 두 근 사이의 거리가 1이니 공식을 활용해줍시다.
정답은 2번이 되겠습니다.
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