[211015] 정적분으로 정의된 분리 함수가 연속이 되는 조건 (정답률 34%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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분리함수가 아주 극혐이네요. 기본적으로 f(x)가 무엇인지 정보를 많이 주었으므로 f(x)를 수식으로 표현해줍시다. 

 

 

 

 

f(0) = f'(0) = 0이라는 식을 이용하여 f(x)는 0에서 중근을 가진다라고 볼 수 있겠습니다.

 

 

 

 

f(x)는 그림과 같이 a = 0일 경우에는 0에서 삼중근을 가질 수도 있고 

 

 

a가 0보다 작은 구간에 위치해있어 이와 같이 그려질 수 있으며

 

 

 

 

 

반대로 a가 0보다 큰 구간에 위치해있어 이와 같이 그려질 수 있겠습니다. 

 

 

 

 

 

 

 

이제 함수 g(x)에 대해 해부할 시간입니다. 정적분으로 정의된 함수이지만 아래끝이 0이므로 쉽게 g(x)를 구해줄 수 있겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

이와 같이 각각의 분리함수를 x에 관한 함수로 표현했습니다. 이제 함수 g(x)가 실수 전체 집합에서 연속이 되도록 c의 값을 구해봐야겠죠?

 

 

 

x = c 에서 두 분리함수의 값이 같아야 연속이 되므로 위의 식을 만족시켜줘야합니다. 

 

여기에서 양 쪽 값이 양수라면 위의 방정식을 만족시키는 c의 값이 존재하지 않게 됩니다. 그렇게 된다면 x = c에서 g(x)는 불연속이 되므로 절댓값이 씌워져있는 쪽이 음수인 경우여야 합니다.

 

 

 

절댓값 안의 값이 음수이므로 -를 붙여주고 한 쪽으로 이항해주면

 

 

 

이와 같이 c에 관한 사차방정식이 완성됩니다.

 

이 사차방정식을 만족하는 c의 갯수가 오직 한 개가 되어야하므로 사차방정식의 근이 1개면 되겠네요.

 

사차방정식의 개형을 구하기 위해 c에 대해 미분을 해보겠습니다.

 

 

 

 

h'(c)는 c = 0 or a 에서 미분계수가 0이 되고 0에서는 중근이므로 함수의 개형을 대충 파악 가능하겠습니다.

 

 

 0에서 도함수가 중근을 가지므로 극값을 가지지 않고 계속하여 내려가며, c = a에서 극솟값을 가지고 다시 올라가는 모습입니다. 하지만 위 그림처럼 a가 위치하게 된다면 결국 c는 두 개의 실근을 가지게 되며 이는 c는 하나의 실근만을 가진다는 조건과 모순입니다.

 

 

a = 0인 경우에는 h(c)가 허근만을 가지게 되므로 역시 모순이 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이처럼 c = a 에서 극솟값을 가짐과 동시에 그 극솟값이 0인 경우에만 단 하나의 실근이 나오게 됩니다.

 

즉 h(a) = 0 이라는 정보를 얻을 수 있으므로 

 

 

 

 

 

 

위 조건을 만족시키는 a의 값은 1 혹은 -1이 되겠습니다. 아마도 a가 1 혹은 -1일 때 g(1)의 값이 바뀌게 되므로 그 중 최댓값을 정답에서 요구하는 듯 싶습니다. 케이스를 두 개로 나눈 후 구해보는 것이 좋겠습니다.

 

 

a = -1인 경우

 

 

 

첫 번째 케이스입니다. 위 식을 만족하는 c의 유일한 실근은 결국 a이므로 c = -1이 되겠습니다. 

 

 

 

즉 g(1)에서 x = 1은 c인 -1보다 큰 수이므로 이 함수에 1을 집어넣어야 g(1)이 나오게 됩니다.

 

 

 

결국 위의 식에서 1을 넣게 된다면

 

그 결과는 2이므로 g(1) = 2가 됩니다.

 

 

 

a = 1인 경우

 

c = a = 1이고 분리함수는 c = 1에서 연속이므로 g(1)은 둘 중 아무 계산하기 편한 함수에 집어넣어주면 됩니다. 어차피 연속이기 때문에 계산 결과가 동일하게 나오겠죠.

 

(x < c)인 구간이 더 계산하기 편해 보이므로 g(1)을 구해본다면

 

 

답은 3분의 14가 나오게 됩니다. 

 

 

 

g(1)의 최댓값을 구하라고 했는데 5개의 선지 중 가장 큰 3분의 14가 이미 답으로 나온 이상 혹시라도 존재하는 다른 경우의 수가 있더라도 결국 5번이 답이 되겠죠? 위 문제는 케이스 선택에서 a = 1을 먼저 했다면 나머지 a = -1인 상황을 구해보지 않아도 바로 정답이 나와버리는 문제입니다. 아주 불합리하네요.. ㅠㅠ