[220312] 함수의 연속을 이용한 함수 추론 (정답률 43%)

2022년 고3 3월 모의고사 12번

 

함수의 연속성을 이용해 함수를 추론하는 문제입니다. 함수가 연속이라는 점을 잘 이용한다면 어렵지 않게 풀 수 있는 문제입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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x가 2보다 작은 구간에서의 f(x)

x가 2보다 큰 구간에서의 f(x)

 

시작하기에 앞서 함수 f(x)는 2를 기준으로 구간별로 나뉘어진 함수이니 구간별로 함수를 따로 정의해줍시다.

 

 

h(x)는 최고차항이 1인 삼차함수를 f(x)로 나눈 함수이고, f(x)가 0이 되는 1 혹은 a에서는 정의가 되지 않겠죠? 

 

 

하지만 정의가 되지 않는 1과 a에서 두 값이 같다고 하네요. h(x)는 실수 전체 집합에서 연속이라는 점을 적극적으로 활용해줍시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"영역 전개" 극한으로 함숫값 구해버리기. 양변에 리미트를 취해버리면 연속이기 때문에 h(x)의 함숫값을 구할 수 있게 됩니다. 일단 양 변이 분모가 0으로 가니 g(1) = 0, g(a) = 0이라는 두 가지 정보를 얻을 수 있겠죠?

 

g(x) = (x-1)(x-a)(x-b)로 일단 둡시다. 이후 a혹은 b의 값을 특정해야만 미지수가 1개가 되면서 나머지 미지수까지 구할 수 있게 됩니다. 

 

h(x)는 함수 전체에서 연속이 되어야 하니 f(x)가 분리되는 2에서도 역시 좌극한과 우극한, 함숫값이 모두 같은 연속이어야 겠죠?

 

 

 

 

위처럼 2에서의 우극한과 좌극한이 같고, 함숫값까지 동일해야만 h(x)는 실수 전체에서 연속이 됩니다. 위 식을 만족하기 위해서는 분자인 g(x)는 둘 다 같은 g(2)으로 수렴하므로 분모의 값 역시 서로 같아야겠죠? 

 

 

그렇게 a의 값을 구해준다면

문제의 조건과 모순이 됩니다.. a는 2보다 커야 하는데 우리가 구한 a의 값은 2보다 작기 때문입니다. 그렇다면 위의 함수가 연속이 되기 위한 두 번째 조건은 바로 g(2)가 0이면 됩니다. 그렇다면 좌극한과 우극한이 모두 0이 되고, 함숫값 역시도 0이 되기 때문이죠.

 

그러므로 g(2) = 0이라고 가정한다면 g(x) = (x-1)(x-2)(x-a)가 되겠네요. 이제 a의 값을 구해줍시다.

 

 

위 두 개의 식이 같으므로 a값을 구해줍시다.

 

 

 

위의 식을 잘 인수분해 해준다면

 

 

 

a는 4 혹은 1이 나오게 되는데 2보다 크다고 했으니 a는 4가 되겠네요.

 

 

 

전부 구했으니 이제 계산만 잘 해주시면 답은 3번이 되겠습니다.