[220713] 분리 함수를 통해 삼차함수 특정하기 (정답률 36%)

2022 7월 모의고사 공통 13번

 

문제의 주제는 다항함수 추론입니다. 조건들을 통해 함수를 특정해야하는 흔한 국밥 문제입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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일단 최고차항의 계수가 1이라는 점이 주어졌네요. 최고차항 계수가 정해지면 문제의 난이도가 상당히 쉬워집니다. 최고차항 계수가 미지수면 최고차항이 음수인 경우와 양수인 경우의 개형이 달라지기 때문에 난감해집니다.

 

그리고 f(0) = 2분의 1 이라는 조건을 통해, 상수항이 2분의 1이라는 점 역시 한 눈에 특정이 가능해지지요?

 

알아낸 정보들을 통해 주어진 삼차함수를 대략적으로 표현해보았습니다. 

 

짜증나게도 g(x)는 f(x)를 기준으로 분리된 함수입니다. -2보다 작은 구간일 때에는 f(x) 그대로 나오게 되고, -2보다 큰 구간인 경우에는 f(x)를 8만큼 위로 올려준 함수가 나오게 됩니다. 

 

마지막으로 g(x) = f(-2) 의 실근이 2 뿐일 때 함수의 극댓값을 구하라는 것이 바로 문제가 요구하는 바입니다.

 

일단은 생각을 해봅시다.. 실근을 이미 알려주었으므로, 우리는 위의 방정식에 2를 집어넣고, 그 결과를 바탕으로 식을 세워 줄 수 있습니다.

 

g(2)는 -2보다 큰 구간이므로, g(2) = f(2) +8이 되고, 정리하자면 f(2)+8 = f(-2) 라는 방정식이 참이라는 것을 알 수 있습니다.

우리가 구해놓은 미지수로 점철된 삼차함수 뼈대에 집어넣어서 식을 하나 만들어주겠습니다.

 

 정리할 것 정리해서 식을 이쁘게 바꿔보면..

-4b = 24 라는 식을 얻을 수 있고, 양변을 4로 나눔으로서 b = -6 이라는 귀중한 결과를 얻을 수 있겠습니다.  

 

삼차함수가 약간은 더 선명해졌죠? 

 

위 방정식의 실근이 하나임을 이용하여 a의 값을 특정하라는 것 같습니다.

 

 

 

최고차항이 양수이며 결국에는 문제에서 극댓값을 구하라고 했으므로, 극소와 극댓값이 둘 다 존재하는 개형으로 그려주어야겠죠? 이제 여기에서 x = -2 라는 축을 설정해서 함수를 나눠주어야 합니다.

 

 축을 여기에 설정하게 된다면 문제에 지시에 따라, -2보다 큰 왼쪽 함수는 8만큼 올려줘야합니다. 

 

 

 

 

 

대강 이런 형태로 말이죠 하지만 이와 같이 축을 설정하게 된다면 아주 치명적인 모순이 발생하게 됩니다.

 

만나는 실근이 오직 하나만 존재하긴 하지만.. -2보다 작은 쪽에 존재하므로, 오직 2에서만 실근을 갖게 된다는 조건과 모순됩니다. 참고로 열린구간이기 때문에 -2에서는 실근이 존재하지 않습니다. 

 

 

 

 

함수를 이와 같이 분리해주어도 역시 문제가 생깁니다. 서로 다른 2개의 실근을 가지기 때문입니다. 그렇다면 과연 어떻게 함수를 찢어야할까요?

 

 

 

이렇게 찢어도 답이 없겠네요? 서로 다른 2개의 실근을 갖게 되니까요

 

드디어 퍼즐이 맞춰지네요. 왼쪽에서는 극솟값에서 한 개의 중근을 가지게 되고, 극댓값보다 더 작은 부분에 축이 들어오게 되면서, 오른쪽 역시 0개의 실근을 가지게 됩니다. 결국 f'(2) = 0이므로, 이를 통해 a값을 확정지을 수 있겠습니다.

 

 

 

f'(2) = 0 이라는 식을 이용하여 a의 값을 특정하면, 2a = -3이 되므로,

 

 

 

간단한 인수분해를 통하여 극댓값의 x좌표는 -1이라는 사실을 얻을 수 있습니다.

 

a와 b의 값이 정해졌으므로 원함수를 특정 해 낼 수 있으며, 극댓값의 x좌표도 알고 있으므로,

 

 간단한 계산을 통해 극댓값을 구해낸다면, 정답은 4가 되겠습니다.