[230915] 극한값 계산을 통한 함수 추론 (정답률 33%)

2023년 9월 고3 모의고사 공통 15번

 

이번 문제는 극한값 계산을 통한 함수 추론에 관한 문제입니다. 극한값 계산을 잘 다루는 학생이라면 별 어려움 없이 풀었을 것이라 확신합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이과정

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g(x)라는 함수는 f(x)가 0이 되는 순간에는 3이라는 값을 얻고 그 외의 나머지 구간에서는 복잡한 식을 가지고 있습니다. 우리가 주의 깊게 봐야 할 점은 

 

 

바로 이 식이지요. f(x)가 3에서 0을 가지냐 가지지 않느냐에 따라 구분해서 문제를 해결하는 것이 가장 베스트이지만 조금만 생각해봐도 g(3)이 0이 아닌 경우 문제가 생기고 맙니다.

 

 

g(3)이 0이 아니라면 위의 식을 만족해야하는데 위의 식을 만족하는 g(3)의 값은 아무리 찾아봐도 없기 때문이죠. 그러므로 f(3) = 0을 가정하고 문제를 해결해야합니다.

 

 

 

 

 

 

 

f(3) = 0으로 가정했으니 g(3)은 3이 되므로, 식을 이와 같이 고쳐줄 수 있습니다. 이제 우리가 평소 극한값을 계산하던 방식으로 극한값을 계산해주면 되겠습니다.

 

분모가 0으로 가므로, 분자 역시 0으로 가야하는데, {f(3)+1} 부분은 0이 될 수 없으니, f(3+3) 부분이 0이 되야겠죠?

 

즉 우리는 f(x)에 대한 두 개의 정보를 얻었네요. f(3) = 0, f(6) = 0

 

 

 

최고차항 계수가 1이라고 했으므로 f(x)를 아래처럼 둡시다.

 

 

f(x+3)은 세 개의 실근에 3을 더해주면 되니 위와 같이 표현이 가능하겠죠?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

최종적으로 식을 위와 같이 바꿔보면 분모가 0이 되는 x-3이라는 인수를 지워 줄 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

인수를 지운 뒤 3을 대입해보면 알파의 값을 구해 낼 수 있겠죠? 알파의 값은 4였으므로 이제 함수 f(x)가 확정되었네요.

 

 

 

 

 

함수가 확정되었으니 이제 g(5)를 계산만 해 주면 끝이므로 계산을 해 줍시다. 계산 과정이 좀 혐오스럽긴 하네요.

 

 

 

 

 

계산은 여러분에게 맡기겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

결과는 5x4 즉 20이 답이 되겠습니다.