[211012] 두 삼각형의 넓이 비율을 통한 극한값 계산 (정답률 31%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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일단 구해야 할 식이 굉장히 복잡합니다. 두 삼각형 OAB와 PBA의 넓이를 t라는 변수를 이용하여 표현해주어야 극한값 계산이 가능하겠죠?

 

일단은 원이 한 점(t, t^2-4) 에서 그은 두 직선에 의해 접하는 상황입니다. 원의 성질 중 하나인 중심에서 접점에 이은 반지름과 접선은 서로 수직을 이루죠? 그러므로 각 OBP와 OAP는 둘 다 직각인 상황입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

이와 같은 원의 방정식은 a,b를 중심으로 하고 반지름이 r인 원을 의미합니다. 위의 원의 방정식에서는 0,0을 중심으로 하며 반지름이 2인 원이므로 반지름을 구해낼 수 있습니다. 

 

 

 

 

 

원점에서 p를 잇는 직선을 생각해봅시다. 결국 원점에서 p까지의 거리가 직선의 길이가 되겠으니 점과 점 사이의 거리공식을 활용해줍시다.

 

 

OP의 길이를 구해주었습니다. 이제 직각임을 이용하여 BP의 길이를 구해줄 수 있게 되는데, 삼각형 OAP와 OBP는 서로 닮음이므로 AP와 BP의 길이가 동일하게 됩니다. 

 

 

피타고라스 정리를 이용해줍시다.

 

 

OB의 길이는 2였으므로 제곱하면 4가 되며 이를 이항해주게 된다면 BP의 길이를 t를 통해 표현이 가능해지겠죠?

 

 

t에 관한 사차식이 나오지만 그리 쫄 필요가 없습니다. 어차피 t의 네제곱과 t의 제곱 그리고 상수만 남게 되므로 결국 이차식과 동일하게 풀리기 때문입니다.

 

 

 

 

사차식같아 보이지만 t의 제곱을 X로 치환해준다면 이차방정식이 됩니다.

 

 

 

 

이제 X를 다시 t의 제곱으로 돌려줍시다.

 

 

 

 

마지막으로 양변에 루트를 씌워주어 BP를 구해줍시다. 

 

 

성공적으로 BP와 AP의 길이 역시 구해주었습니다. 

 

 

우리가 계산하기 위한 식을 보면 두 삼각형의 넓이를 나눕니다. 결국 정확한 삼각형의 넓이를 구할 필요 없이 두 삼각형의 비율만 구해주어도 문제를 해결이 가능하다는 의미이죠.

 

OABP는 사각형입니다. 즉 내각의 합이 2π라는 의미입니다. 각 OBP와 OAP는 둘 다 직각이므로 더하면 π가 되고 그렇다면 나머지 각 AOB와 APB의 합은 π가 되어야합니다. 

 

 

 

사각형의 내각의 합은 2π이기 때문에 우리는 이와 같이 각 APB를 θ라고 두면 나머지 각 AOB는 (π-θ)가 됩니다. 또한 마주보는 각을 제외한 나머지 변의 길이를 전부 알고 있으므로 각 삼각형의 넓이를 sinθ를 활용하여 구해줄 수 있게 됩니다.

 

 

 

sin은 π에 대하여 대칭이므로 두 sin값이 동일한 값을 가지게 됩니다.

 

 

 

이와 같이 삼각형 OAB의 넓이인 S(t)의 값을 구해냈습니다.

 

 

 

똑같은 방식으로 PBA의 넓이인 T(t)역시 구해주었습니다. 미지수인 k가 있어도 상관이 없는게 어차피 두 넓이를 나누면서 자연스럽게 약분이 되므로 신경을 쓸 필요가 없습니다.

 

 

 

이제 극한값 계산을 들어가 볼까요?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 나머지 극한값도 계산을 해줍시다.

 

 

 

분모는 최고차항이 4인 사차식이며 분자는 최고차항이 1인 사차식이므로 최고차항비율으로 나눠준 값인 4분의 1이 그 값이 되겠습니다.

 

 

 

 

 

종합해보면 정답은 4분의 5가 나오므로 2번이 되겠네요.