[220413] 정적분으로 정의된 함수의 극한 (정답률 28%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

함수의 극한과 정적분으로 정의된 함수가 섞여있는 다소 독특한 문제입니다. 애초에 수학 2의 모든 단원들이 유기적으로 연결되어있으니 충분히 섞어서 나올 수 있는 문제이지만 흔히 볼 수 있는 스타일의 문제는 아니기 때문에 문제를 마주친 순간 당황할 수 있습니다. 

 

 

하지만 당황하지말고 천천히 아직까지 배워왔던 개념을 곱씹으면서 문제를 풀어봅시다. 

 

 

 

기본적으로 x를 2로 보낸다면 분모는 0이 되므로 분자인 정적분으로 정의된 함수가 0으로 수렴하지 않는다면 함수는 수렴하지 않습니다.

 

 

 

위의 함수를 g(x)라고 둔다면

 

 

좀 더 명확하게 g(2) = 0이고 g'(2) = 3이라는 사실을 알아 낼 수 있습니다. 결국 정적분으로 정의된 함수 역시 함수이므로 위와 같이 표현이 가능해지죠.

 

 

 

 

g(2) = 0이라는 정보로 대입하여 만들어낸 정적분을 분배해준다면 이와 같은 관계식을 얻어낼 수 있습니다. 

 

이제 g'(2) = 3이라는 정보를 활용해줍시다.

 

 

 

 

 

 

정적분으로 정의된 함수 전체를 미분해줍시다.

x는 상수이므로 정적분의 밖으로 빼내 정적분과 곱해줄 수 있게 됩니다. (t는 변수이므로 빼낼 수 없음)

 

이제 본격적으로 미분을 시작해봅시다.

 

일단 첫 번째 정적분을 미분하는 과정입니다. x와 정적분이 곱해져 있으므로 곱의 미분법을 활용해줍시다.

 

두 번째 정적분을 미분하는 과정입니다. 그냥 정적분 안에 있는 함수가 그대로 나오면 되므로 t만 g'(x)의 변수인 x로 고쳐줍니다. 

 

 

최종적으로 g'(x)를 구해낸 결과입니다. g'(2) = 3임을 이용해줍시다.

 

 

이러한 식을 하나 얻어낼 수 있습니다.

 

 

 

g(2) = 0을 이용하여 구해놓았던 식을 이용해줍시다. 

 

 

 

이제 문제를 풀어주면 됩니다. t가 x로 바뀌었을 뿐이므로

 

구하려는 값은 위와 동일합니다.

 

 

내부에 있는 괄호를 분배해주고 상수를 정적분에 곱해주면 최종적으로 위의 식이 나오게 됩니다. 결국 구하려는 값은 27이었습니다.

 

 

 

 

 

---

 

---