[231112] 연속 함수 f(x) 선택 (정답률 48%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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풀이 방법을 잘 모른다면 정답률에 비해 어렵게 느껴질 수 있는 함수를 선택하는 유형의 문제입니다. 

 

일단 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속인 함수라는 것을 알려주고있습니다. 은근히 놓치기 쉬운 중요한 정보이므로 꼭 기억해줍시다. 

 

 

 

 

 

 

위의 항등식이 x와 f(x)로 구성되어있습니다. 공통인수로 잘 묶어봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

위의 항등식을 만족하기 위한 f(x)는 무엇이 있을까요?

 

1. 양 변을 f(x)-1으로 나누는 경우

 

 

 

 

 

함수 f(x)가 x or -x면 위의 항등식을 만족 가능합니다. 

 

 

 

하지만 함수 f(x)가 실수 전체 집합에서 x 혹은 -x인 경우 함수 f(x)의 최댓값이 1이라는 조건과 모순됩니다. x가 1보다 큰 구간, -1보다 작아지는 구간에서는 f(x)의 값이 1보다 커지기 때문입니다.

 

 

 

 

위의 항등식을 만족하는 식은 f(x)가 1일때 역시 항등식을 만족합니다. 

 

 

즉 함수 f(x)는 x 혹은 -x 혹은 상수함수인 y = 1 세 가지 함수 중 하나가 되어야 합니다. 셋 중 하나면 위의 항등식을 만족하므로 실수 전체 범위에서 함수를 선택해주어야합니다.

 

 

 

 

f(x)는 세 함수 중 어떤 함수를 선택하든 상관없지만 이런식으로 선택하게 된다면 연속이 되지 않습니다. 

 

 

 

 

 

f(x)가 연속임을 만족하기 위해 함수를 바꿀 수 있는 지점은 반드시 각 각의 함수가 만나는 교점에서 선택이 가능합니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

즉 함수를 갈아탈 수 있는 점은 이와 같이 세 개의 점에서만 갈아탈 수 있습니다. 

 

 

함수 f(x)의 최댓값이 1이고 최솟값이 0이 되게끔 잘 선택해보라는 의미입니다. 일단 1보다 큰 구간을 봅시다. 빨간 직선인 x = y는 1보다 큰 구간에서 이미 최댓값인 1을 초과하므로 보라색 상수 함수를 선택하거나 파란 함수를 선택해야하는데 파란 함수를 선택해버리면 최솟값이 0보다 작아지므로 무조건 보라색을 선택할 수 밖에 없게 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

그렇다면 교점에서 빨간 길로 갈아탄다는 선택지와 보라색 길을 유지한다는 선택지가 생기게 됩니다.

 

보라색 길을 유지하게 된다면 파랑과 보라의 교점에서 파란 길으로 갈아타거나 계속 유지한다는 선택지밖에 존재하지 않게 되는데 그렇게 될 경우 파란색 길로 갈아타서 최댓값 1을 초과하거나 보라색 길을 유지해서 항상 y=1이라는 상수함수로 살아가서 최솟값 0을 가지지 못한다는 선택지밖에 없게 됩니다. 뭘 선택하든 모순이므로 무조건 갈아타주어야 합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 빨강과 파랑 사이의 교점에서 무조건 파랑으로 갈아타야겠죠? 안그러면 최솟값이 0보다 작아지기 때문입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 파랑과 보라의 교점에서는 다시 보라색 길으로 반드시 갈아타주어야합니다. 그러지 않는다면 최댓값이 1보다 커지게 되기 때문이죠.

 

 

 

 

 

 

 

결국 f(x)는 연속이면서 실수 전체 집합에서 1이라는 최댓값과 0이라는 최솟값을 가지는 함수를 잘 완성시켰습니다.

 

 

 

f(-3분의 4)는 -1보다 작은 구간이므로 1

 

f(0) = 0

 

f(2분의 1) = 2분의 1

 

결국 구하는 정답은 1 + 2분의 1 = 2분의 3이 되겠습니다.

 

 

 

 

 

 

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