[250520] 항등식과 다항함수 추론 (정답률 15%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) f(x), g(x)가 다항함수임을 이용하여 추론하기

 

문제에서 가장 중요했던 정보가 바로 f(x), g(x)가 둘 다 다항함수라는 점이었습니다.

 

 

k는 실수이므로 다음과 같은 식에서의 각 각의 극한값이 일단 존재해야됩니다. 

 

또한 k는 0이 아닌 실수라는 정보가 있으므로, 수렴하는 각각의 극한값이 둘 다 0이 아닌 실수로 수렴해야겠네요.

 

 

 

 

다음의 극한값이 0이 아닌 실수로 수렴하기 위해서는 분모와 분자의 함수의 차수가 동일해야합니다. 

 

 

 

 

f(x)를 제곱해주면 다항함수의 차수가 2n이 될 것이므로 다음처럼 f(x)와 g(x)의 관계를 알 수 있게 됩니다.

 

 

f(x) = 1차, g(x) = 2차

f(x) = 2차, g(x) = 4차

f(x) = 3차, g(x) = 6차

 

사실 4차함수 이상부터 나올 가능성이 매우 희박합니다. 6차 이상의 차수를 지닌 함수가 나와버린다면 그에 비례하여 계산량도 많아질 것이기 때문이죠. 즉 f(x) = 1차, g(x) = 2차인 상황 혹은 f(x) = 2차, g(x) = 4차인 상황 정도만 고려해주면 됩니다.

 

 

 

 

 

f(x) = 2차, g(x) = 4차인 경우 다음의 항등식을 만족 할 수 없게 되버립니다. 결국 좌변의 xf(x)는 3차함수이며, 우변의 식은 5차함수가 되어버리기 때문입니다.

 

f(x) = 3차, g(x) = 6차 인 경우 역시 마찬가지로 모순이 발생하겠죠.

 

결국 f(x) = 1차, g(x) = 2차이면서 동시에 우변의 $\-x^3$가 제거되면서 좌변과 우변의 차수가 전부 2차로 맞춰질 때가 정답인 상황입니다.

 

또한 위의 항등식에 0을 넣어보면 알 수 있지만 g(0) = 0이 되므로 g(x)를 상수항이 0인 이차함수로 가정할 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 항등식을 이용하여 g(x)와 f(x)의 관계 구해내기

 

 

 

식을 전개해보면 다음과 같은 상황임을 알 수 있게 됩니다. 

 

 

3차항이 존재하면 안되므로 a = -2가 되어야합니다. 

 

 

양변을 x로 나눠준다면 f(x)를 구해 낼 수 있겠죠?

 

 

 

이제 미지수인 b를 구해주면 되겠네요. 

 

 

 

 

여태껏 잊고있었던 다음 극한값을 가져와봅시다. 일단 상황이 분모, 분자가 둘 다 0이 아닌 경우, 극한값이 실수로 존재하므로 문제의 조건과 부합한 상황입니다. 분모, 분자가 0이어도 결국 극한값이 0으로 수렴하지 않는다면 그 역시 문제의 조건과 부합하는 상황이죠. 분자, 분모가 둘 다 0인지, 둘 다 0이 아닌지 모르는 상황입니다.

 

 

 

 

다음 항등식에 2를 대입해본다면 결국 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

 

 

 

결국 분모가 0으로 가는 상황이므로, 분자 역시 0으로 가야하는 상황이죠. 

 

 

g(1) = 0 이므로 가야하므로, b = 2가 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 극한값 계산을 통한 k 값 구해내기

 

 

 

함수 g(x)와 f(x)를 알고 있으므로 극한값 계산이 가능해집니다.

 

 

 

다음의 극한값을 계산하면 되겠습니다. 

 

 

 

 

 

 

 

k = 25가 되므로 정답은 25가 되겠네요.