[241114] 두 다항함수로 분리된 함수 f(x)의 실근 개수 (정답률 15%)

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) $(x \leq 2)$ 범위에서의 함수 $f(x)$의 개형 분석

 

일단 $(x \leq 2)$ 범위에서의 함수 $f(x)$는 그려서 개형을 파악 할 수 있는 함수입니다. 계수와 차수들이 전부 정해진 함수이므로 도함수를 통해 개형을 빠르게 파악해봅시다.

 

$f'(x)=6(x^2-1)$

 

최고차항이 양수이므로 $x=1$에서 극소를, $x=-1$에서 극대를 가지는 함수입니다.

 

$f(1)=-3$, $f(-1)=5$

 

극댓값이 5이며, 극솟값이 -3인 함수입니다. 

 

함수를 그리기 위해서 추가적으로 함수가 끊기는 부분인 $x=2$에서 함숫값 역시 구해보고 싶습니다.

 

$f(2)=5$ $x=2$에서 함숫값이 극댓값과 동일합니다.

 

즉 $(x \leq 2)$ 범위에서의 함수 $f(x)$의 개형은 다음과 같이 정해집니다. 점 (0, 1)에 대한 점대칭 함수입니다.

 

 

 

그 이후 $(x>2)$ 범위에서는 (2, 9), (b, 9)를 지나는 최고차항이 양수인 이차함수의 개형을 가지게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 조건을 만족시키는 함수 $f(x)$ 찾아내기

 

 

 

일단은 $(x>2)$ 범위에서의 함수는 무시하고 $(x \leq 2)$ 범위에서의 함수에만 신경써줍니다.

 

 

 

$y = k$와 함수 $f(x)$가 만나는 실근의 갯수가 다음처럼 되어야합니다. 

 

 

 

 

하지만 일단 2보다 작은 구간의 삼차함수만 보자면 $-3<k<5$ 범위에만 들어가면 모조리 $g(k)+\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)+\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=9$를 만족하게 됩니다.

 

$-3<k<5$ 범위 사이에서는 삼차함수와 $y=k$ 사이의 교점이 언제나 3개임을 만족하기 때문이죠. 

$g(k)+\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)+\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=3+3+3=9$

 

하지만 이를 만족하는 실수 k의 갯수가 1개가 되어야 하므로 $x>2$ 구간에서의 이차함수를 이용하여 모순이 되는 상황을 완벽히 막아버려야합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$x>2$ 범위에서 이차함수가 다음처럼 존재한다면 $-3<k<5$ 범위 사이에서는 삼차함수와 $y=k$의 교점 갯수는 언제나 5개임을 만족하며 모순 상황을 해결 할 수 있습니다.

 

하지만 다음처럼 그림이 그려진다면 과연 $g(k)+\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)+\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=9$를 만족하는 실수 k가 단 하나로만 존재하게 될까요?

 

 

 

 

 

 

 

 

다시 한 번 $\alpha<k<-3$ 범위에서 $g(k)+\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)+\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=9$를 만족하는 실수 k의 갯수가 무수히 많아지므로 이 상황 역시 모순에 빠지게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

결국 어쩔 수 없이 답은 이와 같은 상황에서 나올 것입니다. 삼차함수와 이차함수의 극솟값이 동일한 순간 말입니다. 하지만 이 상황이라면 정말 $g(k)+\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)+\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=9$를 만족하는 실수 k가 유일하게 하나만으로 존재할까요?

 

 

 

 

 

 

1. $k<-3$인 경우

 

$g(k)=1$

 

$\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)=1$

 

$\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=1$

 

$g(k)+\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)+\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=1+1+1=3$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. $k=-3$인 경우 

 

$g(k)=3$

 

$\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)=1$

 

$\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=5$

 

$g(k)+\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)+\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=3+1+5=9$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. $-3<k<5$인 경우

 

$g(k)=5$

 

$\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)=5$

 

$\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=5$

 

$g(k)+\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)+\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=5+5+5=15$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. $k = 5$인 경우

 

$g(k)=4$

 

$\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)=5$

 

$\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=2$

 

$g(k)+\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)+\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=4+5+2=11$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. $5<k$인 경우 

 

$g(k)=1$

 

$\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)=1$

 

$\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=1$

 

 

$g(k)+\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)+\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)=1+1+1=3$

 

조건을 만족하는 k는 $k=-3$으로 유일하게 존재하겠네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 두 자연수 a, b의 순서쌍 구하기 

 

일단 함수 $a(x-2)(x-b)+9=y$는 최솟값 -3을 가져야 합니다. 함수의 최솟값은 두 실근의 평균에서 나오므로 다음과 같이 최솟값의 x좌표를 구할 수 있습니다.

 

$\frac{2+b}{2}=x$

 

다음 x좌표를 함수에 대입하여 최솟값 -3을 가지게 만들 a,b의 순서쌍을 구해봅시다.

 

$a\left ( \frac{b-2}{2} \right )\left ( \frac{2-b}{2} \right )+9=-3$

 

$-a\frac{\left ( b-2 \right )^2}{4}+9=-3$

 

$\frac{a\left ( b-2 \right )^2}{4}=12$

 

$a(b-2)^2=48=3\times16$

 

a, b는 자연수이므로 다음과 같은 순서쌍을 만들 수 있습니다.

 

1. $a = 3$, $b = 6$ 인 경우

 

2. $a = 12$, $b = 4$ 인 경우

 

3. $a = 48$, $b = 1$ 인 경우

 

4. $a = 48$, $b = 3$ 인 경우

 

 

다음 중 순서쌍 $(a+b)$의 최댓값은 $a=48$, $b=3$인 상황에서 최대이므로 $(a+b)=48+3=51$ 정답은 1번이 되겠네요.