[241022] 접선을 가질 조건을 통한 함수 추론 (정답률 6%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

두 개의 삼차함수가 구간별로 나뉘어져있는 함수 g(x)입니다. 구간이 열린구간 (0, ∞)에서 정의되어있으므로 0보다 작은 구간에서는 함수가 정의되어있지 않습니다. 

 

 

 

함수 g(x)는 정의되어있는 구간 전체에서 미분가능하며 g(10)의 값을 구하는 것이 우리의 목표입니다.

 

 

 

 

함수에 대한 설명 및 조건이 (가)와 (나) 발문으로 이루어져있습니다. 일단 0부터 4까지 구간에서의 함수를 알아봅시다.

 

 

 

 

일단 0부터 4까지 구간에서의 함수의 개형을 그려보도록 합시다. 0,0을 지나고 4에서 x축에 접하는 함수를 그리면 되겠죠?

 

 

0부터 4까지의 함수의 개형입니다. 기본적으로 4보다 큰 구간에서의 f(x)는 삼차함수이며, 미분가능하므로 4,0을 지나야하고, 4에서의 미분계수가 0 즉 함수 f(x) 역시 x = 4에서 x축과 접해야합니다. 또한 (가) 조건에서 볼 수 있듯이 (2분의 21, 0)을 지나므로 

 

 

 

 

함수 f(x)는 이와 같이 확정됩니다. 최고차항 계수가 미지수이므로 최고차항을 아무렇게나 설정해도 상관이 없습니다. 함수를 전개하고 미분해야하는데 괄호 안에 분수가 들어있으면 계산하기 어려우므로 (x - 2분의 21) 항 안에 2를 곱해주겠습니다. (곱해주지 않아도 상관없지만 계산하기 귀찮아집니다.)

 

 

 

 

 

 

이번에는 (나) 조건을 한 번 살펴보도록 하겠습니다. 점 (-2, 0)에서 곡선 g(x)에 그은, 기울기가 0이 아닌 접선이 오직 하나 존재한다고 합니다.

 

일단 0부터 4 사이에서 (-2, 0)을 지나는 접선을 두 개 그을 수 있을 것 같은데 그 중 하나는 기울기가 0인 접선일테니 일단 식을 세워서 조사해봅시다.

 

 

접점을 t로 가정한 뒤 (-2, 0)을 지나는 접선의 방정식을 세워서 조사해봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(-2 , 0)을 지나는 접점 t의 갯수는 총 3개입니다. 하지만 0보다 작은 구간에서는 정의되지 않으므로 접점이 -4인 경우는 불가능하고, 접점이 4인 경우에서는 x축과 접하는 직선, 즉 기울기가 0인 직선일테이니 역시 (나) 조건에 영향을 끼치지 않습니다. 

 

즉 x가 0부터 4까지의 구간에서는 t = 1인 경우에만 (-2, 0)을 지나는 기울기가 0이 아닌 접선이 존재하게 되며,

x가 4보다 큰 구간에서는 (-2, 0)을 지나는 접선이 아예 존재하지 않거나, 있더라도 기울기가 0이어야 조건을 만족하게 됩니다.

 

 

 즉 이와 같은 상황입니다.

 

 

 

 

이제 4보다 큰 구간에서 함수를 그려주어야합니다. 결국 함수 g(x)는 2분의 21, 0을 지나야하므로 삼차함수인 이상 최고차항의 계수의 부호에 따라 개형이 두가지로밖에 존재하지 않게 됩니다. 

 

 

 

 

 

두 번째 케이스, 즉 k값이 양수인 경우 k값과 관계없이 이와 같이 기울기가 0이 아니고 (-2, 0)을 지나는 접선이 존재할 수 밖에 없습니다. k값이 아무리 커지거나 작아지더라도 결국 (-2, 0)을 지나도록 잘 그은 접선이 존재하기 떄문이죠.

 

 

 

첫 번째 케이스 역시 함수 f(x)가 결국 (-2, 0)을 지나는 접선을 갖게됩니다. 

 

 

 

 

 

결국 이를 만족시키기 위해서는 이와 같이 4보다 큰 구간에서의 함수 f(x)가 0과 4 사이의 구간에서의 함수와 공통접선을 가지면 되는 상황입니다. 어차피 4보다 큰 구간에서 f(x)는 (-2 ,0)을 지나는 접선을 하나 가지게 되는데, 결국 그 접선이 4보다 작은 구간에서의 함수와 접하는 공통접선이면 여전히 기울기가 0이 아닌 접선의 갯수가 1개를 만족시킬 수 있기 때문입니다.

 

 

즉 함수 f(x)가 4보다 큰 구간에서 위의 접선과 접하면 됩니다. 이제 f(x)의 접선의 방정식을 셋팅해줍시다.

 

 

위 과정과 동일하게 세팅해줍시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

-2,0을 지나는 접선의 방정식을 이와 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

 

 

 

접점은 -4분의 23, 4, 8 세 개의 접점이 나오게 됩니다. 8을 제외한 나머지는 4보다 작은 구간이므로 어차피 f(x)가 정의되지 않는 구간이므로 접점의 x좌표는 8이겠네요.

 

 

 

3x+6 = y였으므로 함수 f(x)는 (8, 30)을 지납니다. 이를 이용하여 k의 값을 구해봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

k를 구해줬으므로 이제 g(10)을 구해봅시다.

 

 

 

 

p+q = 2 + 27 = 29가 되겠습니다.

 

 

 

---

---