[250512] 직선으로 둘러쌓인 넓이가 같은 함수 (정답률 28%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

Step 1) S1 = S2를 이용하여 차함수 설정

 

그림에서 보이는 두 도형 S1, S2의 넓이가 같다는 점을 이용하여 차함수를 설정하는 것이 중요했던 문제입니다. 차함수를 이와 같이 설정해준다면, 0부터 B까지 차함수의 정적분 값이 0이 되기 때문이죠.

 

 

 

 

차함수 h(x)는 다음처럼 A,B에서 실근을 가지게 됩니다. 실근의 위치를 파악 할 수 없지만 AB의 길이가 $\sqrt5$라는 것과 직선의 기울기가 $\frac{1}{2}$라는 점을 이용하면 두 실근 간의 관계를 알아 낼 수 있습니다.

 

 

 

즉 이와 같이 차함수 h(x)는 중근인 0, $\alpha$, $\alpha +2$를 세 근으로 가지는 사차함수라는 사실을 알 수 있습니다. 하지만 문제점이 하나 있습니다. 

 

 

 

차함수 h(x)를 다음과 같이 두게 된다면, 적분 계산이 많이 힘들어집니다. 사실 전개까지야 뭐 계산량이 많지는 않지만 결국 정적분을 계산하는 단계에서 어마어마한 계산량이 발목을 잡게 되겠죠.

 

 

$$\int_{0}^{\alpha +2}h(x)dx=0$$

 

다음의 정적분을 계산해야 하기 때문입니다. 그러므로 애초에 실근을 0, $\alpha$, $\alpha +2$로 잡는 것 자체가 계산량에서 엄청난 손해를 보는 행위입니다. (위 정적분을 계산하여 α를 구해 낸 뒤 f(1)의 값을 구해내도 무방)

 

 

 

 

실근을 다음과 같이 표현하는 것이 정적분을 계산 할 때 계산량에서 이득을 볼 수 있습니다.

 

 

 

$$\int_{0}^{\alpha}x^2(x-\alpha +2)(x-\alpha )dx=0$$

 

정적분의 위 끝이 다음과 같이 문자 하나로 표현되기 때문입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 정적분 계산을 통해 α 구하기

 

겉보기에는 계산량이 많이 빡세 보이지만 결국 α를 인수로 묶어 줄 수 있으므로 계산량이 그리 많지 않습니다.

 

 

 

 

전부 $\alpha ^4$을 인수로 가지고 있습니다. 일단 양변의 분모를 제거해주기 위하여 5,2,3의 최소공배수인 30을 곱해주겠습니다. 

 

 

 

 

 

이제 공통인수인 $\alpha ^4$로 양 변을 나눠주겠습니다. 

 

 

 

 

 

위의 일차식을 계산해보면 $\alpha =5$ 라는 정보를 얻을 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 함수 f(x) 확정 및 f(1)의 값 구해내기

 

 

 

 

 

다음과 같이 차함수 h(x)를 다시 f(x)에 관한 함수로 돌려준 뒤 f(1)을 구해줍니다. 정답은 5번이 되겠네요.

 

문제 자체의 접근법이 뻔하고 발상을 요구하는 곳이 없었음에도 불구하고 정답률이 굉장히 낮은 문제였습니다.  

 

 

 

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