[230720] 정적분으로 정의된 다항함수 추론 [정답률 20%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 조건 (가), (나) 해석

 

일단 (가), (나) 조건을 동시에 해석하는 것이 중요했던 문제입니다. 

 

함수 $g(x)$를 봅시다. 일단 $f(x)$는 이차함수입니다. 그것을 적분하게 되면 결국 $\int_{0}^{x}f(t)dt$는 3차함수로 승격하게 됩니다. (적분을 해주었으므로)

 

또한 거기에 $x^2$을 곱해주었죠? 그러므로 3차함수에서 5차함수로 떡상을 하게 되죠. 

 

$$\int_{0}^{x}t^2f(t)dt$$

 

이녀석 역시 상황은 똑같습니다. 이차함수 $f(x)$에 x^2을 곱한다면 4차함수로 떡상을 하게 되는데 그것을 적분한 꼴이므로 결국 동일하게 5차함수가 되겠죠? 

 

또한 최고차항의 계수는 서로 다릅니다. $x^2\int_{0}^{x}f(t)dt$이 친구는 최고차항의 계수가 3인 이차함수를 먼저 적분하고 (최고차항 계수 1으로 떡락) $x^2$을 그 이후에 곱해준 것이므로 최고차항의 계수가 1인 5차함수가 되며

 

$\int_{0}^{x}t^2f(t)dt$ 이 친구는 $x^2$을 먼저 곱해준 뒤 적분을 해주었으므로 최고차항 계수가 $\frac{3}{5}$가 됩니다. 결국 최고차항이 서로 다르므로 $g(x)$라는 함수는 최고차항 계수가 1인 5차함수가 되겠습니다.

 

 

$g(x)$가 극값을 가지지 않으면서, 그 도함수인 $g'(x)$가 서로 다른 두 실근을 가지기 위해서는 어떻게 되어야할까요?

 

$g(x)$를 미분한 도함수인 $g'(x)$은 사차함수가 되어야하며, $g(x)$가 극값을 가지기 위해서는 함수의 부호가 바뀌어야합니다. 즉 반대로 말하면 극값을 갖지 않기 위해서는 함수의 부호가 바뀌면 안되는 것이죠.

 

즉 도함수 $g'(x)$의 개형은 다음처럼 0, 3에서 각각 중근을 가지는 상황이 유일한 상황입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) $g'(x)$ 구하기

 

곱의 미분법을 이용하여 x에 대해 식을 미분하면 다음처럼 $x^2f(x)$가 서로 소거되며 g'(x)를 구해 낼 수 있습니다.

 

$$g'(x)=2x\int_{0}^{x}f(t)dt$$

 

$$g'(x)=2x^2(x-3)^2$$

 

$g'(x)$는 0, 3에서 각각 중근을 가지므로 다음과 같이 표현 해 줄 수 있습니다.

 

$$\int_{0}^{x}f(t)dt=x(x-3)^2$$

$f(x)$는 최고차항 계수가 3인 이차함수였으므로 적분해주면 계수가 1으로 줄어들겠죠?

 

여기에서 함수 $f(x)$를 직접 구해내는 방법은 2가지가 있습니다. 

 

 

첫 번째 방법 입니다. 삼차함수 $\int_{0}^{x}f(t)dt$의 극값들을 구해내는 작업입니다. 극값이 되는 $x$에서 도함수인 $f(x)$가 0이 되므로 $f(1)=0$, $f(3)=0$을 통해 바로 구해내는 방법입니다.

 

$$f(x)=3(x-1)(x-3)$$

 

 

 

 

$$f(x)=2x(x-3)+(x-3)^2$$

 

두 번째 방법입니다. 그냥  $\int_{0}^{x}f(t)dt$을 미분을 하세요. 

 

$$f(x)=(x-3)(3x-3)$$

 

$$f(x)=3(x-1)(x-3)$$

 

어차피 계산하기 복잡한 함수가 아니므로 풀이 속도에 유의미한 차이가 없습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) $\int_{0}^{3}\left | f(x)\right |dx$의 값 구하기

 

$S_1+S_2$ 즉, $\int_{0}^{1}f(x)dx-\int_{1}^{3}f(x)dx$의 값을 구해내면 됩니다. 

 

$$\int_{0}^{1}f(x)dx=(1-3)^2=4=S_1$$

$$\frac{2^3}{2}=4=S_2$$

 

결국 우리가 구하고자 하는 $S1+S2= 8$이 되므로 정답은 8이겠죠?