[240615] 정적분을 이용한 원시함수 추론 (정답률 41%)

 

 

 

 

 

 

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[ 발문 확인 ]

 

 

 

 

정보 1) 함수 f(x)는 최고차항 계수가 1인 삼차함수입니다. 또한 상수 k의 전 후로 구간이 분리되어있는 함수가 g(x) 입니다.

 

 

 

 

 

 

 

정보 2) 실수 전체의 집합에서 증가하며, 미분 가능하다. 일단 실수 전체 집합에서 증가하므로, g(x)의 도함수인 g'(x)는 항상 0 혹은 양수를 만족해야하며, 어차피 다항함수로 정의되어있으므로 0이 되더라도 부호만 바뀌지 않으면 0이 연속적으로 나오지 않으므로 증가함수가 됩니다.

 

또한 미분가능 이라는 키워드에 집중하셔야합니다. 미분가능이라는 것은 g(x)가 연속임을 전제 한 것이므로 g(x)가 연속이며, 도함수인 g'(x) 역시 연속이라는 것을 파악하고 들어가셔야합니다.

 

 

 

 

 

 

정보 3) 위와 같은 관계식을 만족한다고 합니다. 

 

 

 

 

 

 

결국 문제에서 구하고자 하는것은 g(k+1)이네요

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 미분가능 키워드를 중심으로 조건 (가) 이용

 

문제 자체의 정답률은 상당히 높은 편 임에도 불구하고 실제 체감되는 난이도는 22번과 비슷할정도로 어려운 문제였습니다. 정답의 번호만 바뀌었더라도 20%보다도 훨씬 낮은 정답률을 기록했을 문제입니다.

 

g(x)는 미분가능하므로 k에서 연속이어야 하므로 f(k) = k라고 둘 수 있으며, 도함수 역시 연속이어야 하므로 f'(k) = 2를 만족해야합니다.

 

 

또한 g(x)는 실수 전체의 집합에서 증가해야합니다.

 

 

 

 

함수 f(x)의 개형을 모르므로 대충 그려본다면, k의 위치가 k3이 되어야만 k3보다 큰 구간에서 항상 증가하는 증가함수가 될 수 있는 것이죠.

 

 

 

 

x = k에서 미분 계수 또한 같아야하므로 f(k)는 x = k 에서의 2x+k와의 접점이 되겠네요.

 

 

 

 

결론적으로 함수 g(x)는 이와 같은 개형을 가지게 될 것입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 도함수의 넓이를 이용한 조건 (나) 이용 

 

 

일단 식 자체가 너무 더럽습니다. g(t)를 범위 k의 앞 뒤로 분리해서 전부 ㅣx(x-1)ㅣ-x(x-1) 을 곱해준 뒤 계산으로 처리하는 것은 사실 상 불가능에 가깝죠.

 

 

 

일단 피적분함수의 개형부터 파악해봅시다.

 

한 쪽에는 절댓값이 씌워져있고, 다른 한 쪽에는 절댓값이 없이 동일한 식이 더해져 있습니다.

 

즉 x(x-1)이 음수가 될 때에는 절댓값 안의 식은 -를 붙이고 나올 것이므로 서로 더하면 상쇄되어 0g(x) = 0 이라는 값이 되겠습니다.

 

x(x-1)이 양수인 구간에서는 결국 2x(x-1)g(x)라는 식이 등장하게 될 것입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

피적분 함수를 h(x)라고 두게 된다면 0과 1 사이에서는  항상 0이라는 값을 가질 것이며,

나머지 구간에서는 2x(x-1)g(x)라는 값을 가지는 함수일 것입니다.

 

 

 

k의 값은 양수이므로 k보다 작은 구간 및 음수 구간에서는 무조건 이와 같은 식을 가지게 될 것입니다. 

 

0, 1, 2분의k 3개의 근을 가지고 있는 최고차항 계수가 2인 삼차함수이므로 k의 범위에 따라 그래프를 확인해봅시다.

 

 

 

 

2분의 k가 1보다 큰 경우, 즉 k < 2 인 경우입니다. 

 

 

 

 

위의 식의 값이 항상 양수를 만족해야합니다. 즉, 0부터 어떤 구간까지 적분 했을 때, 음수가 존재하면 안된다는 뜻이죠

 

 

 

 

하지만 0부터 2분의 k까지 적분한 값은 그림에서도 볼 수 있듯이 음수가 나오게 됩니다. 즉 항상 양수임과 모순되는 것이죠.

참고로 0보다 작은 쪽으로 적분하게 되면 어차피 반대 부호가 되므로 항상 양수임이 성립합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 번째 케이스로 2분의 k가 1인, 즉 k = 2 인 상황입니다. 그림으로 봐도 적분값이 항상 0 또한 양수임을 만족하는 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

세 번째 케이스로 2분의 k가 0과 1 사이, 즉 0<k<2 인 경우 역시 적분값이 항상 0 또는 양수가 되므로 조건을 만족합니다.

 

 

 

 

 

 

 

네 번째 케이스로 k = 0 인 경우 역시 조건을 만족합니다.

 

 

 

 

종합적으로 k의 범위는 이와 같이 정해지게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 이 정적분을 이용하여 다시 한 번 비슷한 행동을 취해봅시다.

 

이번에는 피적분함수가 반대로 (x-1)(x+2)가 양수인 경우 전부 0의 값을 지니고, 음수일 때는 -2(x-1)(x+2)g(x)라는 값을 가지게 되므로, 음수인 범위인 부분만 확인하면 되겠네요.

 

 

 

 

 

이번에는 -2와 1 사이에서만 함수를 확인해주면 되고, 함숫값은 -2(x-1)(x+2)g(x)와 같습니다.

 

-2(x-1)(x+2)(2x-k) 이번에는 -2, 1, 2분의 k 세 개의 실근을 가지므로 그래프의 개형을 그려봅시다. (최고차항이 음수임을 주의!)

 

 

 

 

 

 

2분의 k가 0과 1 사이에 존재하므로 이와 같이 함수를 그려봤습니다. 

 

 

 

 

아까와 다르게 이번에는 적분의 시작 범위가 3부터 시작입니다. 

 

 

 

 

 

3부터 2분의 k까지 적분을 한다면, 반대 방향에서 적분을 했던 것이므로 정적분의 값이 양수처럼 보이지만 실제로는 음수의 값이 나오게 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

2분의 k = 1인 경우, 즉 k = 2인 경우를 제외하면 2분의 k가 1보다 아주 조금이라도 작아지면 x축 위로 튀어나온 넓이가 아주 작게라도 존재할 것이고, 결국 3부터 2분의 k까지를 적분하면 아주 작게라도 존재하는 넓이의 음수 값이 나올 것이므로 조건을 만족 할 수 없게 됩니다.

 

 

 

즉 우리는 조건 (나)를 통해 k  = 2임을 확정지어주었습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) g(3)의 최솟값 구하기

 

이제 k의 값을 알아냈으므로 g(3)의 최솟값을 구할 차례입니다.

 

2보다 작은 구간의 직선인 2x-2와 함수 f(x)가 (2,2)에서 접하는 상황입니다.

 

 

 

이와 같이 h(x)를 차함수 형태로 잡아주게 된다면

 

 

다음과 같이 식을 바꿔 쓸 수 있게 됩니다.

 

 

 

즉 구하고자 하는 g(k+1) 은 7-α 이므로, α의 최댓값을 구해주면 g(k+1)의 최솟값을 구할 수 있게 됩니다.

 

 

 

f(x)가 2 이상의 구간에서 증가함수라는 조건을 아용해볼까요?

 

 

 

 

f'(x)는 이차함수이며, 2와 2분의 α+2라는 근을 가집니다. 우리는 최솟값을 구해야합니다. 즉 α가 최대가 되는 상황을 관찰하기 위해 2가 더 왼 쪽에 있는 상황으로 셋팅을 해준거죠.

 

 

 

 

 

대칭축 즉 최솟값의 x좌표를 이와 같이 구해 줄 수 있겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

최솟값은 0까지는 ok입니다. 미분계수가 0이 되어도 다항함수이므로 증가함수임을 유지 할 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

가능한 α의 최댓값을 구해주었네요.

 

 

 

 

 

 

g(k+1) 의 최솟값은 5 - 루트6이 되겠습니다.

 

 

 

 

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