[250530] 대칭성을 활용하여 타원의 초점 구하기 (정답률 8%)

 

 

 

 

 

 

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예.. 첫 기하 문제입니다. 아직까지 기하를 유기했었는데요 사실 수열도 유기를 했지만 수열보다는 기하가 더 재미있습니다. 애초에 기하, 특히 이차곡선에서는 정의를 아주 잘 활용해야합니다. 애초에 이차곡선의 성질을 활용하지 않고도 풀 수 있는 문제는 낼 이유가 없기 때문입니다.

 

 

문제의 발문 앞 내용은 사실 읽지 않더라도 대충 그림으로 확인하면서 유추 할 수 있으므로 중요한 정보를 체크해봅니다. 일단 관계식 하나가 주어져 있으며, 타원 E2의 단축의 길이가 주어져 있고, 이를 통해 타원 E1의 초점인 c의 값을 구해내라고 요구하고 있습니다.

 

 

 

 

30번 치고는 그림이 만만하게 생겼습니다. 타원 E1의 초점은 각각 F'과 F이며, 타원 E2의 초점은 각각 F와 A입니다. 이차곡선에서 가장 중요한 점은 바로 정의를 활용하는 것 입니다. 교점 B는 두 타원 위의 점이므로 초점과 연결해서 타원의 정의를 써 봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

BF, B'F, AB 등 다양한 직선이 나오게 됩니다. 근데 아직까지는 모르겠습니다. 애초에 각각의 타원의 장축 길이를 알 수 없으며 알고있는 정보라고는 타원 E2의 단축길이인데.. 장축길이면 몰라도 단축길이면 당장 써먹을 방법이 없는 것 같습니다.

 

 

타원에서 두 직선을 빼는 경우는 보통 장축길이끼리 빼서 직선끼리의 차이에 대한 식을 만드는 경우입니다. 

 

타원 E1의 장축길이를 2α, 타원 E2의 장축길이를 2β라고 가정해봅시다.

 

 

 

두 식을 빼준다면 BF가 제거되면서 BF'-BA 를 만들어 줄 수 있겠습니다.

 

 

일단 이와 같이 표시를 해 둡시다. 일단 AF'의 경우 타원 E2의 장축이 아니므로 위 식을 이용해서 딱히 뭘 할 수 없어보이네요.

 

 

 

 

 

타원 E1의 초점거리는 c이고, F'와 F를 각각 초점으로 삼는 타원이므로 F'F = 2c,

타원 E2는 x축 방향으로 평행이동이 되었지만 초점거리는 변하지 않고, F와 A를 각각 초점으로 삼는 타원이므로 FA = 2k

 

이와 같이 두겠습니다. 

 

 

타원의 대칭성을 이용하여 타원 E2 장축의 나머지 길이를 2c로 둘 수 있겠죠?

 

즉 타원 E2의 장축길이는 2k+4c가 됩니다.

 

 

 

으하하하 나머지 길이 역시 대칭성을 활용해주면 이와 같이 타원 E1의 장축길이 역시 4k+2c로 구해 줄 수 있게 됩니다.

 

 

2α = 타원 E1의 장축길이 즉, 4k+2c

2β = 타원 E2의 장축길이 즉, 2k+4c 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

음~ 하하하하 이제는 AF'마저 k와 c를 이용해 표현 할 수 있게 되었습니다.

 

 

 

 

 

 

 

이제 연립을 해줍시다. 초점 사이의 거리만 일단 가정해주니까 문제가 술술 풀리는데요?

 

 

 

위의 식을 연립해주시면 이와 같은 k와 c의 관계식을 얻을 수 있게 됩니다. 이제 이 관계식을 이용하여 그림 상의 k를 전부 c로 바꿔보겠습니다. 

 

 

 

 

타원 E1은 장축의 길이가 8c 인 타원이며, 타원 E2은 장축의 길이가 7c인 타원입니다. (c = 타원 E1의 초점거리)

 

 

이제 마지막으로 까먹고 있었던 단축의 길이가 4루트3 임을 이용해봅시다. 

 

타원 E2의 장축 길이는 7c이고, 단축길이는 4루트3 이므로 

 

 

여기까지 오셨다면 충분히 2분의 장축 - 2분의 단축 = 2분의 초점거리 공식을 이용하여 c의 값을 구해낼 수 있으리라 믿습니다. 

 

 

 

 

 

정답은 36이 되겠습니다. 이차곡선의 첫 문제를 30번으로 장식했네요.

 

 

 

 

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