[250929] 쌍곡선과 포물선의 교점 (정답률 37%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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준킬러 문제를 풀 때에는 발문에 나와있는 정보들을 하나씩 해석하는 능력이 가장 중요합니다. 

 

 

정보 1) 쌍곡선의 초점은 각각 (4, 0) (-4, 0) 입니다. 즉 초점 사이의 거리가 4라는 것이죠.

 

 

 

정보 2) 그림 상의 포물선은 점 F (4, 0)을 초점으로 하고 y축이 준선입니다. 초점거리가 2이고, 꼭짓점의 좌표가 (2, 0)이어야 준선이 y축, 점 F를 초점으로 할 수 있으므로 포물선의 방정식은 8(x-2) = y^2 가 되겠네요.

 

 

 

 

정보 3) 선분 PH와 선분 HF 간의 비율관계가 주어져 있습니다. PH = 3k, HF = 2루트2 k로 잡고 문제를 들어가면 좋겠죠?

 

 

 

마지막으로 우리가 구해야 할 답입니다. 초점거리는 알고있으므로 결국 a혹은 b 중 하나의 값을 구해내면 끝나는 문제겠네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

발문에서 알려준 정보를 통해 이와 같이 초기 세팅을 해 줄 수 있습니다. 발문에서 주어진대로라면, 두 이차곡선 사이의 교점이 P이므로 점 P를 통해 각 각 쌍곡선과 포물선의 성질을 이용해 줄 수 있겠습니다. 

 

 

 

 

Step 1) 점 F는 포물선의 초점이므로 PF = PH 즉 PF 역시 3k가 되겠습니다. 삼각형 PFH는 이등변삼각형입니다.

 

 

 

 

 

Step 2) 이등변삼각형의 성질을 활용해줍니다. P에서 선분 HF에 수선의 발을 내리고 그 점을 P'이라고 한다면 점 P'는 선분 HF의 중점이 됩니다. 

 

 

 

 

 

Step 3) 피타고라스 정리를 이용하여 직각삼각형의 변을 전부 k에 대한 식으로 표현해줍니다. 비율이 일정하므로 sinθ와 cosθ의 값을 전부 구해 낼 수 있기 때문입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) 각 OHF를 α라고 둡니다. 각 OHP는 직각이므로 각 α를 다음과 같이 표현 할 수 있게 됩니다.

 

 

각 (α+θ) = 2분의 π, 즉 직각이기 때문이죠. 

 

 

즉 우리는 sinα와 cosα를 다음과 같이 표현 할 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 5) 직각삼각형 OHF에서 sinα의 값을 알고있으므로 다음과 같은 식을 만들어 낼 수 있습니다.

 

 

 

사인과 코사인을 이용해서 k의 값을 구해냈습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 6) 삼각형들의 변의 길이를 알고있으므로 OH의 길이를 구해줍니다. 또한 OH는 결국 점 P에서 x축에 수선의 발을 내린 길이와 동일하므로 이와 같이 표시를 해 줍니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 7) 쌍곡선의 정의를 활용해주기 위해 파란 직각삼각형에서 빗변의 길이를 구해준 뒤 빗변의 길이와 9를 빼준 결과가 주축길이인 2a임을 이용하면 되겠네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 8) 답을 낼 차례입니다. 빗변의 길이는 15이므로 15 - 9 = 6 즉 2a = 6이니 a = 3이 되겠으며, 초점이 4였으므로 9+b^2 = 16이 되야하니 b의 제곱은 7, a의 제곱은 9가 되겠네요.

 

9x7 = 63이므로 정답은 63!

 

 

 

 

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