[260929] 두 타원의 교점과 장축 사이의 관계식 (정답률 28%)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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일단 문제의 발문에서 뽑아먹을 정보를 전부 뽑아먹어줍시다. 세로로 길쭉한 타원 C1 의 초점을 그냥 알려주었습니다. 
 
 
 
 
 

 
그림의 상황을 보면 대충 무슨 말인지 알 수 있습니다. 여기서 중요한 단어는 바로 x축이 만나는 점을 Q라고 했고, 그 점 Q가 타원 C2의 꼭짓점이라고 했으니 타원 C2는 단축이 12인 타원이겠거니 잡아주는게 핵심 포인트였습니다.
 
 
 

 
마지막으로는 이와 같은 관계식을 주었는데 타원에서 두 선분끼리 빼는 경우는 보통 타원의 정의를 활용하여 두 직선의 합을 각각 구한 뒤 두 식을 서로 빼서 공통으로 포함되어있는 직선을 소거하는 방식으로 자주 활용됩니다. 
 
 
 
 
 
 
 
 

그림의 상황입니다. 일단 FP는 x축과 평행하므로, 삼각형 F'FP는 직각삼각형이라는 점을 알 수 있으며, 점 Q가 타원 C2의 꼭짓점이었으니, FQ = FP 라는 사실 역시 알 수 있습니다.
 
각각의 타원의 장축 길이를 모르고 구할 방법이 없으므로 미지수로 깔고 들어가봅시다.
 

 
큰 타원의 장축 길이를 2α로 설정하고
 

 
작은 타원의 장축 길이를 2β로 설정해줍시다. 
 
 
 

FQ = PQ, FQ+PQ = 2β이므로 FQ = PQ = β가 되겠습니다. 일단은 각 타원의 장축길이를 알아내기 위해서는 타원의 정의를 활용해야하고, 타원의 정의를 활용하기 위해서는 직선의 길이 정보를 알고있어야하므로 선분들의 길이들을 구해봅시다.
 
 
 
 
 

그림에서 보이는 네 개의 직각삼각형은 전부 합동인 직각삼각형입니다. 전체 직각삼각형과 작은 직각삼각형들의 길이비는 2:1 비율이므로 F'P = 2β가 되겠습니다. 또한 작은 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 사용해봅시다.
 
 
 
 

 

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이등변 삼각형이므로 점 Q'는 FP의 중점이겠죠?
 
 
 
 
 

드디어 타원의 정이를 써줄 수 있게 되었습니다. 
 

 

 
루트가 있어서 식이 더럽지 않나요? 괜찮습니다. 어차피 풀리겠지 몰라레후
 
 
 
 
 

 
이번에는 바로 맨 처음에 언급했던 이 관계식을 이용해볼 차례입니다. 사실 저 관계식이 두 장축 사이의 관계식이거든요.R은 C1과 C2의 교점이고, F는 공통 초점이기 때문에 FR이 소거되면서 두 타원의 장축 사이의 관계식이 나오게 될 겁니다.
 
 

 

 

 

 

이제 위에서 구해놓았던 식에서 β를 이항해준다면..
 
 

 
양변을 제곱해줍니다.
 
 

 

 

 
참고로 수능 수학 계산에서 두 개의 꿀팁이 있는데 16의 제곱까지는 외워두는게 좋다는 점과 분모의 유리화는 답을 내기 전까지는 굳이 할 필요가 없다는 점입니다.
 
 

 
우리가 구하는 두 타원 C1, C2의 장축의 길이의 곱은 2α x 2β = 4αβ입니다. 
 
 

 
...... 이와 같이.... 분모의 유리화를 해야 편한 상황이 생기기는 하지만... 그런 상황이 나올때만 하면 되는거죠 뭐 그죠? 
 
 
 

 
 마지막까지 계산이 아주 짜증나고 답도 절대 찍어서 맞추지 못하도록 하려는 의지가 엿보입니다.
 
 
 

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