[261129] 타원의 대칭성과 포물선의 교점을 활용해 선분 구하기 (정답률 13%)

 

 

 

 

 

 

 

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타원과 포물선 두 개의 서로 다른 이차곡선의 교점에 관한 문제입니다. 일단 이 문제에서 가장 큰 주의점은 초점을 헷갈리지 않는 것 입니다. 

 

 

 

점 F는 타원의 꼭짓점이자 포물선의 초점이고 점 B가 타원의 초점이라는 것을 꼭 잊어버리지 않도록 합시다. 대충 보면 AB와 AH의 길이가 같아보여서 점 B를 포물선의 초점으로 오해하기 좋거든요.

 

 

 

삼각형 AHB의 둘레와 넓이에 대한 정보를 F의 x좌표인 p를 통해 알려주고 있습니다. 삼각형의 둘레의 길이는 타원에서 자주 나오는 주제입니다. 삼각형의 두 변을 장축의 길이를 통해 간접적으로 알려줄 수 있거든요.

 

 

 

 

그림을 한 번 살펴보도록 합시다. 일단 삼각형 ABH의 둘레 길이와 넓이를 구해내야 합니다. 타원과 포물선의 성질을 각 각 잘 활용해주어야 하는 문제인데 일단 타원의 대칭성을 활용해 줄 곳이 보입니다. 

 

 

 

 

점 A와 H는 높이가 같은 대칭이므로 타원의 중심에 대하여 대칭입니다. 그러므로 B가 아닌 타원의 다른 초점을 B'이라고 둔다면 이와 같이 HB'=AB와 동일한 길이의 선분이 됩니다. 

 

 

B'H = BA이므로 BH'+BA = 2a (타원의 장축 길이) 와 같은 식으로 표현해줄 수 있습니다. 하지만 타원의 장축길이를 모르므로 일단 최대한 문제에서 주어진 문자로 표현해봅시다.

 

 

 

 

일단은 준선에서 포물선의 초점까지의 길이는 p의 2배인 2p가 되겠으며, 나머지 길이는 알 수 없습니다. 점 A와 H가 타원에 대하여 대칭인것이지, 원점과 준선이 타원에 대칭이 아니기 때문이죠. 

 

 

 

A의 좌표를 알아내기 위해 AH = α라는 미지수로 설정해보겠습니다. 

 

 

 

 

타원의 대칭성에 의해 우리가 구하고자 하는 장축의 나머지 길이는 F의 x좌표인 p에서 A의 x좌표인 α-p를 빼주며 구할 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

타원의 장축 길이는 4p-α이며, 장축길이 + α = p+27 이라는 식을 이용하여 p의 값을 구해 낼 수 있게 됩니다.

 

 

 

초점인 p의 값은 9였습니다. 포물선이 원점을 지나고 초점이 9이므로 포물선의 방정식을 세워 줄 수 있겠죠?

 

 

그림 상의 포물선의 방정식입니다. 이제 넓이를 구해주면 되겠습니다.

 

 

 

삼각형 ABH의 넓이를 구하는 방법은 사인 법칙을 쓰는 방법도 있지만 그림 상에서 높이 x 밑변으로 구하는게 훨씬 빠를 것 같으므로 이를 이용하여 구해보겠습니다. 

 

 

 

포물선의 방정식과 Ax의 값을 알고 있으므로 방정식에 대입해주도록 하겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이와 같이 A의 x좌표 까지 구해주었습니다. 이를 다시 포물선에 방정식인 y^2=36x 에 대입해주면 A의 y좌표는 6이 나오게 됩니다.

 

 

 

이제 선분 HF의 제곱을 구해주면 되겠네요.

 

 

 

k^2 = 360 정답은 360이 되겠습니다.

 

 

안보이면 끝까지 안보이지만 결정적인 한 단계 스텝만 밟으면 술술풀리는 문제였습니다. 

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