[231011] 복잡한 사인함수 추론하기 (정답률 46%)

2023년도 고3 10월 모의고사 11번

 

복잡하게 변형된 사인 함수의 그래프를 좌표간의 기하학적 관계를 통해 추론하는 클래식한 문제입니다. 주기성, 대칭성 등 사인 함수의 특징을 잘 활용한다면 쉽게 풀 수 있는 문제입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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일단 주기성부터 체크를 하고 갑시다. 이 부분이 은근히 학생들이 많이 헷갈리는 부분인데,

 

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a와 b는 양수라는 조건이 없기 때문에, 그래프의 개형을 통해 추정 가능 한 경우의 수는 a와 b 모두 음수거나 a와 b가 모두 양수인 경우가 됩니다.

하지만 이 문제에서 만큼은 a와 b가 음수든 양수든 관계없이 제곱해서 답을 내기 때문에 a와 b를 모두 양수라고 가정하고 문제를 풀어보겠습니다. (a와 b를 모두 음수라고 가정해도 상관 없음)

 

 

 

 

그림을 보면 알 수 있겠지만 x축 방향으로는 평행이동이 되지 않은 사인 함수라는 것을 알 수 있습니다. (0,0을 지나기 때문) 또한 개형으로 볼 때 a와 b가 모두 음수거나 a와 b가 모두 양수여야만 위의 개형을 가지게 됩니다.

 

 

 

 

주기를 먼저 구해줍시다. b는 음수거나 양수일텐데 위에서 언급했듯이 b를 양수로 가정을 해줄게요. 

 

 

 

 

 

주기를 이용해 위처럼 가장 y좌표가 큰 값과 가장 작은 값의 x좌표를 표현해줍시다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A, B, C는 전부 y = 5와의 교점이고, 삼각형 OAB의 넓이가 2분의 15라는 정보를 이용하여 AB의 길이를 구해줄 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

삼각형 OAB의 높이는 5가 되겠고 밑변은 B-A가 되므로, 선분 AB의 길이를 특정해낼 수 있게 됩니다.

 

 

 

AB의 길이를 알아냈으니 BC의 길이는 정보를 통해 길이가 9라는 사실을 공짜로 얻어 낼 수 있죠

 

 

AB와 BC의 길이를 전부 알고 있으므로, AC의 길이까지도 알아 낼 수 있게됩니다. 이제 주기성을 잘 활용해줍시다.

A에서 만난 교점이 C에서도 만나므로, A에서 C까지는 주기가 한 번 돈것이죠? 즉 C의 좌표는 A에서 주기인 2b만큼 더해주면 되니 선분 AC의 길이가 주기인 2b가 되겠네요.

 

 

 

b는 이미 6으로 확정이 된 상황이고 이제 a를 구해주면 되겠습니다.

 

 

B - A = 3이라는 식을 이용합시다. B + A는 대칭축인 2분의 b에 2배이므로, B + A = b 즉 B + A = 6이 됩니다. 두 식을 이제 연립해주면 되겠죠?

 

 

 

 

 

 

A와 B의 x좌표가 특정되었으니 위의 식을 함수에 대입해서 a값을 구해주면 문제가 풀리겠네요.

 

 

함수에 A를 대입한 결과입니다. 사인 4분의 파이는 2분의 루트2이므로 미지수 a를 구할 수 있게 되겠죠?

 

 

 

 

 

여기서 굳이 분모의 유리화를 하지 않아도 괜찮습니다. 어차피 제곱할거니 시간낭비죠. 이게 은근히 시간 아끼는 개꿀팁입니다. 어차피 답을 낼 때만 분모의 유리화를 해주시면 되거든요.

 

 

b= 6이었으니 이제 답을 내줍시다.

 

 

 

정답은 68, 1번이 되겠습니다.