[230313] 사인 함수 합성을 통한 다항함수 특정 [정답률 45%]

2023년 고3 3월 모의고사 13번

재미있는 문제입니다. 사인 함수를 통해 다항함수를 특정해내야하는 문제로 사인 함수의 특징을 잘 활용해줘야하는 것은 당연하고 합성함수까지 해석을 해내야 문제를 풀 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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조건 (가) 와 조건 (나) 를 적절히 활용하여 문제를 풀어내야 합니다.

 

 

a의 값의 범위를 주었으니 (가) 조건을 먼저 이용해봅시다.

 

 

 

 

 

 

(가) 조건을 만족하는 값은 위처럼 수 없이 많습니다. 하지만 a값은 0부터 2까지로 제한되었으니 2분의 1이거나 2분의 3 둘 중 하나가 되겠네요.

 

 

 

 

 

이번에는 조금 까다로울 수 있는 (나) 조건을 이용하러 가봅시다. 기본적으로 합성이 되어있어서 매우 짜증이 나는데 일단 속함수인 g(x)를 한 번 그려봅시다.

 

 

 

g(x)의 개형입니다. f(g(x)) = 0이 되게 하는 모든 해의 합은 2분의 5 π 라는 점을 활용해줍시다.

 

 

직선을 위와 같이 그어버리면 모든 해의 합이 3π가 되면서 2분의 5π를 만족 할 수 없게 됩니다. f(x)는 이차방정식이니 해가 2개 있으므로, 위와 같은 직선을 두 번 그어야하거든요 

 

 

 

직선을 위와 같이 그어버려도 역시 문제가 생깁니다. 딱 봐도 알겠지만 모든 해의 합이 2분의 5π 보다 커져 버리거든요.

 

 

 

 

 

 

 

하지만 위와 같이 직선을 그어준다면

 

 

 

 

아주 아름답게 (나)의 조건을 만족 할 수 있게 됩니다. x3 = -1이기 때문에 우리는 f(x)의 근 중 하나가 -1이라는 정보까지 얻게 되었습니다. 그러면 대입을 해 볼까요?

 

 

 

 

 

 

f(-1) = 0을 만족하기 위해선 f(x)는 둘 중 하나가 되어야합니다.

 

 

 

 

 

각 함수에 2를 곱해주고 인수분해를 해준 결과 하나는 2분의 1이라는 근을 가지고, 나머지 하나는 -2분의 1이라는 근을 가집니다.

 

 

 

 

 

(나) 조건에 의해 함수 f(x)는 0과 1 사이의 실근과 -1의 실근을 가져야 합니다. 그러므로 첫 번째 함수가 정답이겠네요.

 

 

 

f(x)는 이렇게 확정이 되겠습니다. 이제 여기에 2를 대입해주면 정답은 2분의 9가 나오겠습니다. 정답은 4번!