[210720] 특정한 삼각형의 외접원 넓이 구하기 (정답률 40%)

2021년도 7월 고3 모의고사 20번

 

삼각함수 도형 파트에서 도형을 보는 시야를 넓히는 등 기본기를 기르기 매우 좋은 기출 문제입니다. 특히 삼각함수 도형 문제를 어려워하는 학생들이라면 위의 문제에서 얻어 갈 수 있는 아이디어가 꽤 많을 것이라고 생각합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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일단은 도형 문제에서 가장 중요한 점은 주어진 조건을 그림에 표현을 해봐야합니다. 물론 그림 속에 조건이 표현 된 문제들도 있지만 위의 문제는 좀 불친절하게 직접 조건을 그림 위에 표현해야하니 알고 있는 정보를 써봅시다.

 

 

 

 

 

 

일단은 cosθ의 값을 조건에서 알려주었는데 이를 sinθ으로 변환을 해 줄 수 있으니 cosθ를 sinθ으로 변환한 뒤 사인 법칙을 이용하여 전체 삼각형 외접원의 지름을 구해주겠습니다.

 

 

 

이제 sinθ를 이용하여 전체 삼각형 외접원의 지름을 구해줄게요. 

 

 

 

 

위 그림에서 외접원의 지름이 18이라는 정보를 얻었고 선분 AB를 지름으로 하는 삼각형이니 선분 AB = 12가 되겠습니다.

 

 

 

 

 

 

점 D는 선분 AB를 5:4로 내분하는 점입니다. 18을 5:4로 내분하기 위해서는 선분 AD의 길이가 10이고, BD의 길이가 8이 되야합니다. 

 

 

 

 

이번에는 원주각과 중심각의 관계를 활용해주도록 해볼까요? 굉장히 자주 나오는 아이디어이니 꼭 알아두셔야합니다.

 

원주각 ACB를 α라고 한다면 중심각은 2α가 될텐데 위 그림에서 볼 수 있듯 2α는 180도 즉, π가 됩니다.

 

 

 

그러므로 각 α는 자동으로 원주각 중심각 관계에 의해 90도가 되며 삼각형 ABC는 직각삼각형이 되는 모습이죠. 한 변을 외접원의 지름으로 삼는 모든 삼각형은 전부 직각삼각형입니다.

 

 

이제 원주각 C가 직각이라는 정보를 알아냈고 두 변의 길이를 이용해 피타고라스 정리를 사용하려 했는데 계산이 너무 귀찮지 않아요? 18을 제곱하고 12루트2도 제곱해야하고 그걸 더하고 빼고 다시 루트를 씌우고 어쩌고..

 

위의 삼각형이 직각삼각형이고 sinθ 와 cosθ 값을 알고있으니 삼각비를 통해 빠르게 AC의 길이를 구해줍시다.

 

위 직각삼각형에서 알고있는 정보는 빗변인 r과 y를 알고있고 구하려는게 x에 대응되는 변이기 때문에 cosθ를 이용하여 구해주면 되겠네요.

 

 

 

 

 

 

 

이렇게 사인과 코사인을 자유자재로 사용하면 피타고라스의 정리를 사용하는 것 보다 훨씬 편하고 빠르게 AC의 값을 구해 낼 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

위와 같이 당연하게도 피타고라스 정리를 이용하더라도 AC의 값을 구해낼 수 있습니다. 하지만 너무 계산이 더럽고 복잡하죠..

 

 

그냥 삼각비로 딸깍하는 것과 피타고라스 정리를 이용하여 AC의 길이를 구하는 과정입니다. 어때요 계산량의 차이가 느껴지나요?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 삼각형 CAD의 두 변의 길이를 알고있고, cosθ 역시 알고 있으니 코사인법칙을 통해 CD의 길이를 구해내면 될 것 같네요.

 

 

 

 

 

 

 

이제 변 CD의 길이마저 구해주었으니 사인법칙을 이용해 최종적으로 삼각형 CAD의 외접원의 반지름을 구해주면 되겠습니다.

 

 

 

 

 

삼각형 CAD 외접원의 반지름을 알아냈으니 이제 CAD 외접원의 넓이를 구해준 뒤 파이로 나눠줍시다. 원의 넓이를 구하는 공식은 당연히 알고있다고 믿습니다..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

정답은 27이 되겠네요. 차근차근 주어진 조건을 따라 행동하셨다면 쉽게 풀리는 문제였습니다.