[241019] 절댓값이 포함된 사인 함수 해석 (정답률 14%)

2024년 고3 10월 모의고사 19번

 

3점짜리 문제 주제에 굉장히 낮은 정답률을 기록한 문제입니다. 수학 모의고사 역사 상 최악의 3점짜리 문제로 기록되었습니다. 절댓값이 포함된 함수를 다루는 법에 대해 높은 이해도를 가져야 문제를 풀어낼 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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우리가 알아볼 사인 함수입니다. 일단 다행이도 x축 방향으로는 평행이동이 되어있지 않고, 주기와 y축 방향으로의 평행 이동이 되어있습니다. 하지만 절댓값이 포함된 경우 y축 방향으로의 평행이동이 되어있는 경우 매우 까다로워집니다. 만들어 낼 수 있는 개형이 너무 많기 때문이죠.

 

 

 

 

 

일단 첫 번째 조건을 통해 함수를 해석해보겠습니다. 기본적으로 우리가 다룰 함수 f(x)의 주기부터 알아내는 것이 중요한데요

 

a가 양수라는 정보를 문제에서 이미 제공해주었기에 음수와 양수 중 a의 값을 양수로 택하면 되겠네요.

 

 

주기가 위처럼 되어있으니 이제 정의역인 x의 범위를 알아보겠습니다.

 

 

 

절댓값을 잘 풀어준다면 위와 같이 x의 범위가 쉽게 구해지게 됩니다. 우리가 다룰 함수 f(x)는 주기가 a분의 2인 함수이니 x축 양쪽으로 주기의 반 씩 그려주면 되겠습니다.

 

 

 

이를 통해 함수를 그려본다면 b의 값에 따라 너무나 다양하게 함수의 개형이 바뀌므로 ㅣsinaπx+bㅣ를 직접 해석하는 것은 사실 상 불가능에 가깝습니다. 그러므로 함수를 절댓값과 b가 포함되어있지 않은 g(x) = sinaπx 로 두고 문제를 풀어보겠습니다. 

 

 

 

 

함수를 쉽게 새로 설정한다면 조건 해석이 생각보다 수월해집니다. 

 

 

주어진 조건에서는 위 조건을 만족하는 모든 실수 x의 값의 합은 2분의 1이라고 했죠?

 

 

아무리 절댓값이 씌워져 있다고 하더라도 위의 함수가 0이 되기 위해서는 g(x) = -b여야 합니다.

 

 

 

이제 우리는 일반적인 sin함수에 y = -b라는 직선을 그어주며 실근의 합을 쉽게 파악할 수 있게 됩니다. 

 

 

 

 

 

b = 0

첫 번째 케이스입니다. b = 0인 경우입니다. 

 

 

보다싶이 세 실근을 가지게 되며, 그 합이 0이 되므로 b는 0이 아니겠군요.

 

 

 

 

b > 0

 

두 번째 케이스입니다. b가 양수가 된다면 위처럼 두 개의 실근을 가지게 되며 대칭성에 의해 두 근의 합은

 

위처럼 -a분의 1이 됩니다. 하지만 앞서 말했듯이 a는 양수이므로 두 근의 합이 음수가 되며 이는 모든 실근의 합이 2분의 1이 될 수 없으므로 b는 음수가 되어야 합니다.

 

 

 

 

 

 

b < 0

세 번째 케이스입니다. b가 음수가 된다면 위처럼 -b는 양수가 되며 두 실근의 합은 대칭성에 의해 

위 처럼 a분의 1이 되며, 이는 2분의 1이 되어야 하므로

 

 

a = 2 라는 결과를 얻을 수 있겠습니다.

 

 

 

 하지만 이처럼 사인함수의 최댓값에서 y = -b와 접 할 경우 α라는 하나의 근이 생기게 되고 

 

 

모든 실근의 합이 2분의 1이므로, a = 1 인 경우도 가의 조건을 만족하게 됩니다.

 

 

가 조건을 만족하는 a는 1과 2가 되겠습니다. 이제 나 조건을 이용하여 a와 b를 특정해줍시다.

 

 

 

 

x의 범위는 가와 같으니 이번에도 역시 절댓값 해석을 통해 나의 조건을 잘 해석해주어야합니다.

 

절댓값이 포함되어 있으니 sinaπx+b가 음수가 되는 경우와 양수가 되는 경우 케이스를 각 각 나눠야 합니다.

 

 

 

 

sinaπx+b가 양수인 경우에는 그냥 절댓값을 없애주고 나오면 되므로 이와 같이 함수와 직선이 각 각 만들어집니다.

 

 

 

 

sinaπx+b가 음수인 경우에는 -를 곱해주며 절댓값을 없애주면 되니 이와 같이 함수와 직선이 각 각 만들어집니다. 이제 sinaπx와 두 개의 직선의 교점을 통해 실근을 구해주도록 하겠습니다.

 

 

 

 

 

일단 첫 번째로 생각해볼 수 있는 케이스는 두 직선이 이와 같이 각각 양수와 음수에 위치하는 경우입니다. 대칭성을 활용하면 쉽게 밝혀지지만 네 실근의 합이 0이 되기 때문에 나 조건과 모순입니다.

 

 

 

 

 

 

이번에는 두 직선이 전부 양수인 경우를 가정해봅시다. 대칭성을 활용한다면 결국 네 실근의 합은 a분의 2가 됩니다.

 

 

a는 1 혹은 2 밖에 될 수 없으므로 조건을 만족하지 못하게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

이와 같이 하나의 직선이 접한 상황이라면 어떨까요? 서로 다른 세 실근이 존재하게 되며 모든 실근의 합은

 

이처럼 나타나게 되죠. 모든 실근의 합이 4분의 3이라는 점을 이용한다면

 

 

a가 2라면 가와 나 조건을 전부 만족 할 수 있겠습니다. 즉 위의 그림이 문제에서 원하던 상황이며, sin함수의 최댓값은 1이므로 하늘색 직선의 y값이 1이라는 것을 이용하면 b의 값도 구해 낼 수 있겠습니다.

 

 

이제 a와 b를 전부 구해주었습니다.

 

 

 

문제의 정답은 84가 되겠습니다.