[240521] 도형에서의 삼각함수 활용 최고난이도 (정답률 4%)

2024년도 5월 모의고사 21 번

 

삼각함수 도형 파트에서 굉장히 낮은 정답률을 기록한 문제입니다. 사실 이 정도 문제를 풀 수 있다면 삼각함수 도형파트에서 어떤 문제가 나오던지 자신있게 정답을 맞힐 수 있다고 생각합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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일단 문제를 풀기 위해 필요한 정보를 알아봅시다. 일단 첫 번째로는 부채꼴의 반지름이 6이라는 점과 각 ACE가 90도라는 점에 주목을 해봅시다. 항상 강조했던 한 변이 지름인 삼각형이 내접한다면 각도가 90도가 된다는 점을 활용할 수 있을 것 같거든요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

위 정보를 잘 활용한다면 선분 CE의 연장선과 OA에 평행한 직선이 만나는 점을 연결할 수 있고 그 점을 A'라고 둔다면 삼각형 CAA'은 지름이 12인 외접원에 내접하는 삼각형이라는 점을 알 수 있게 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

위와 같이 보조선을 그어준다면 상황이 너무 좋아지는게 sinθ와 cosθ의 값을 알아 낼 수 있게 되고, 주어진 삼각형 CED의 외접원의 반지름 조건을 이용하여 CD의 길이까지 구해 줄 수 있기 때문이죠.

 

 

 

 

이제 sinθ을 구해주었으니 이를 활용하여 CD의 길이까지 구해줍시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 CD의 길이까지 구해주었으니 코사인 법칙을 이용하여 AD의 길이를 구해주면 문제가 해결되는데.. 그러기 위해서는 삼각형 ADC에서 하나의 각을 알아내야합니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

조금 생각을 해 보니 삼각형 A'ADC는 한 원에 내접하는 사각형이네요. 그러므로 대각의 합이 π가 되어야 하니 각 ADC는 cos(π-θ)가 되겠네요? 이제 코사인 법칙을 이용하여 AD의 값을 알아냅시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AD의 길이를 구하기 쉽지 않아보입니다.. 당연히 풀리라고 냈을테니 무지성 근의 공식을 들어가볼까요?

 

 

 

 

 

 

 

길이는 음수가 될 수 없으니 +부호일 때가 정답이겠죠?

 

 

AC의 길이를 구했습니다!

 

 

 

 

 

마지막에 9를 곱해주면서 정답은 깔끔하게 64가 나오게 됩니다.