[240320] 코사인 함수와의 합성 함수간 교점 구하기 (정답률 31%)

2024년 3월 고3 모의고사 20번

코사인함수와 다항함수를 합성한 함수와 코사인함수간의 교점을 구하는 문제입니다. 언뜻 보면 굉장히 풀이법이 복잡해보이지만, 합성함수의 특징을 잘 활용한다면 정말 별 것 아닌 문제였습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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g(x)를 그냥 x로 두고 생각을 해 봅시다.

 

그렇게 생각해본다면 f(g(x)) = g(x) 의 교점은 f(x) = y 와 x = y라는 일차함수간의 교점으로 생각을 해 줄 수 있게 됩니다. 코사인 함수의 치역은 -1부터 1이므로, x = y의 정의역을 -1부터 1까지로 제한을 해주겠습니다.

 

 

f(x)-x = 0 의 교점을 구해 줄 차례입니다. (f(x)와 x = y의 교점을 구하기)

 

 

 

 

 

처음에 바꿔주었던 x를 이제 g(x)로 돌려준다면 우리가 구하려는 교점이 전부 나오게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

cos함수의 대칭 축을 이용하여 깔끔하게 교점의 합을 구해줍시다. 파란 교점끼리의 합, 초록 교점끼리의 합, 빨간 교점끼리의 합은 전부 12가 되므로, 12x3 = 36으로 아주 깔끔하고 쉽게 계산을 해 줄 수 있게 됩니다.

 

 

합성함수가 익숙하지 않았던 학생들이었으면 풀이 과정이 매우 짧고 간단함에도 불구하고 애를 많이 먹었을 법 한 문제입니다.