[230613] 삼각함수 도형 추론 (정답률 20%)

2023년도 고3 모의고사 13번

일단 해석해야 할 조건들이 너무 많아서 더러운 문제입니다. 해석할 게 많아서 더러운 문제임은 인정하지만 객관식임에도 불구하고 매우 낮은 정답률을 보여주고 있는 문제입니다. n수생들의 데이터가 포함되지 않은 3월 모의고사라는 점과, 문제를 보자마자 기괴한 문제의 길이를 보고 바로 걸러버린 학생들의 환상의 조합으로 찍고 넘어가 이런 정답률을 기록한 게 아닌가 싶습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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주어진 정보들을 천천히 함께 분석해봅시다. 

 

 

그림 상 외접원들이 접하는 점이 E인데 그 점이 AC를 1:2로 내분을 한다고 알려주었으니 두 원의 지름이 1:2 비율관계를 만족킨다는 것을 알 수 있겠네요.

 

작은 원의 반지름을 r으로, 큰 원의 반지름을 2r로 표현해보겠습니다. 

 

 

 

 

 

 

두 번째 조건입니다. 글을 굳이 읽을 필요 없이 두 선분의 비율에 주목을 합시다.

 

 

두 선분의 비율도 참 기괴하게 주었네요. 

 

 

 

 

 

이를 잘 활용하여 두 선분을 한 문자로 표현해줄 수 있겠죠? 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

모든 정보들을 표기하고 나니 뭘 해야할지 직감적으로 느껴지지 않나요? 위 그림을 보고도 사인법칙을 사용하지 않는다면 범죄입니다.

 

 

 

 

일단 각 θ를 이용해서 하나 구해주고

 

 

 

 

 

 

 

 

 

너무 깔끔하게 각 α의 sin값을 구해냈습니다. 

 

얻어낸 sin값을 이용해 위 정보까지 활용할 수 있겠죠?

 

 

 

 

 

 

 

 

삼각형 ABD의 넓이가 2를 활용해줍시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

우리가 원하는 답은 a+b입니다. 문제에서 ab의 값을 알려줬으니 a^2+b^2의 값을 구한다면 완전제곱식을 활용하여 a+b를 구해 줄 수 있는데 마침 코사인법칙을 이용한다면 우리가 원하는 a^2+b^2을 구해낼 수 있겠습니다.

 

 

 

 

그러기 위해서는 위의 BD의 길이를 구해주어야합니다. 두 변의 길이를 알고 cosθ마저 알고 있으니 식은 죽 먹기겠네요.

 

 

 

 

선분 BD의 길이를 구해냈으니 이제 반대편에서 코사인 법칙을 사용해주면 되는데 중요한 점은 눈으로 봐도 알 수 있고 심지어 시력이 나쁜 학생들을 위해 친절히 문제에서도 알려주었던 각도 α가 둔각이라는 점입니다. 

 

 

즉 cosα는 음수여야 하므로 위와 같이 구해 줄 수 있겠죠? 이제 cosα를 구해주었으니 코사인 법칙을 사용하러 가봅시다.

 

 

 

 

 

 

이제 중학교때 수 도 없이 했던 방법을 이용하여 a+b를 구해줍시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ab와 a+b로 a^2+b^2을 구하는 방법.. 추억이 새록새록하죠? 정답은 1번이 되겠습니다.