[230311] 사인 법칙을 이용한 삼각형 넓이 구하기 [정답률 50%]

2023년 고3 모의고사 11번

 

주어진 정보로 각을 구해내고 특수각을 이용해 사인 법칙으로 변의 길이를 구한 뒤 넓이까지 구해내는 문제입니다. 아직까지 나왔던 도형 문제와는 결이 다른 문제로 개인적으로 정답률에 비해 난이도가 어려웠다고 생각하는 문제입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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주어진 정보가 굉장히 많습니다. 이를 통해 일단 문제에서 제시한 정보들을 도형에 표현을 해 봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

문제에서 원하는 답은 삼각형 APC의 넓이를 구하라고 했습니다. 일단은 특수각인 60도를 알려주었으니 사인 법칙을 통해 C의 각을 구해낼 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C의 각도가 45도이므로, 이렇게 각 ACP는 30도가 되는 것을 알 수 있습니다. 이제 특수각 30도를 구해냈으니 AC의 길이와 PC의 길이를 구한 뒤, 사인을 이용하여 삼각형의 넓이를 구해내면 되겠습니다.

 

 

 

 

이 삼각형에 주목해줍시다. 세 각의 합은 180도이므로 각 BPC를 위처럼 표현이 가능해집니다. 

 

 

우리에게 친숙한 호도법으로 표현한다면 위와 같으므로 여기에서도 사인 법칙을 사용하여 변 CP의 길이를 구해줍시다.

 

 

 

 

 

 

변 CP의 길이는 루트 6이 되겠습니다.

 

 

 

 

 

이제 변 AC의 길이만 구해주면 정답을 낼 수 있게 되는데 코사인 법칙을 사용하기 아주 좋게 조건을 퍼다줬죠?

 

 

 

 

 

인수분해가 쉽지 않아 보입니다. 근의 공식을 활용해줍시다.

 

 

 

 

 

x는 AC의 변의 길이입니다. 양수가 되어야 하니 위 처럼 변의 길이를 특정할 수 있게 됩니다. 

 

 

 

 

이제 사인을 이용한 삼각형 넓이 공식을 사용하시면 문제가 깔끔히 풀리게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

깔끔하게 정답이 3번으로 나오는 모습이네요.