[231021] 사인법칙과 코사인법칙을 활용해 선분의 길이 구하기 (정답률 13%)

2023년 고3 10월 모의고사 21번

 

제가 가장 자신있어하는 국밥 파트인 삼각함수 도형 파트입니다. 이런 유형의 문제들은 기본적으로 도형의 성질을 정확하게 알고 있어야지 풀 수 있는 문제이니 충분한 연습 후 도전하시기 바랍니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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일단 BC가 지름이라고 했고, BC와 DE의 길이가 동일하다고 했으니 DE 역시 외접원의 지름이 되겠습니다. 지름과 지름이 만나는 교점은 중심이므로, DE와 BC의 교점은 외접원의 중심이 됩니다.

 

이제 사인 CAE가 4분의 1임을 이용하여 CE의 길이를 구해볼까요?

 

 

 

 

 

 

사인 세타분의 CE는 외접원의 지름과 같으므로 변 CE의 길이는 1이 되겠습니다.

 

 

 

 

변 CE와 BF의 길이가 같으므로 이와 같이 표현을 해줍시다.

 

 

삼각형 AED와 ABC는 둘 다 한 변이 지름인 삼각형이므로 직각삼각형입니다. (원주각 중심각 관계)

 

 

이를 통해 각 BAF 역시 세타라는 것을 알 수 있습니다.

 

 

점 B와 D를 연결한 선분 BD 역시 1이 되는 것을 알 수 있습니다.

 

선분 DE와 BC는 원의 지름라는 점을 잘 활용하시면 위와 같이 대부분의 변의 길이를 구해 낼 수 있습니다. 하지만 우리의 목표는 다름아닌 변 AF의 길이를 구하는 것이죠?

 

 

 

이제 살짝 발상이 필요한 부분입니다. FD라는 공통변을 제외한 모든 변의 길이가 나와있으므로 코사인 법칙을 활용하여 코사인알파의 값을 구해줍니다. 공통변인 FD는 t로 둡시다.

 

 

 

 

 

두 식을 연립해줍시다.

 

 

 

 

t의 값이 확정이 되었습니다. 이제 첫 번째 식을 활용해줍시다.

 

 

 

 

이와 같이 코사인 알파의 값을 구할 수 있게 됩니다. 이제 뭘 하냐구요?

 

 

 

이제 엇각을 잘 활용해줍시다. 양쪽에서 코사인 법칙을 써버리면 AB와 AC의 제곱이 각각 구해질 텐데, 결국 빗변의 길이가 4인 직각삼각형의 밑변과 높이이기 때문에 

 

 

이와 같은 식을 사용해줄 수 있습니다. AF는 공통변이고, AF = k이기 때문에 코사인 법칙을 사용해보겠습니다.

 

 

 

이제 두 식을 더해주면 AB의 제곱과 AC의 제곱이 16이라는 관계식을 기가막히게 써먹을 수 있겠죠?

 

 

 

 

 

이제 위의 이차식의 근을 찾아주기만 하면 우리가 원하던 k의 값을 구해낼 수 있게 됩니다.

 

 

루트가 씌워져 있어 k의 값을 구해내기 귀찮네요. 이렇게 인수분해를 하기가 귀찮다면 그냥 근의 공식을 쓰는것도 좋은 방법입니다. 

 

 

 

 

인수분해를 어찌저찌 잘 해주면 위와 같은 결과를 얻을 수 있게 됩니다. k는 변의 길이니까 당연히 양수인 루트 6이 되어야겠죠? 정답은 6이 되겠네요.