[260922] 지수와 로그의 역함수 관계 (정답률 8%)

 

 

 

 

 

 

 

---

 

[ 발문 확인 ]

 

 

 

정보 1) 밑이 2인 로그함수 위에 서로 다른 두 점 A, B가 있습니다.

 

 

 

 

 

 

정보 2) 점 A, B와 y = x의 관계를 주고 있습니다. y = x에 대하여 대칭이동하면 2를 밑으로 하는 지수함수 위의 점이 되므로 역함수 관계를 이용하라는 것 같네요. 로그, 지수 킬러 문제의 단골 주제죠

 

 

 

 

 

 

 

정보 3) 점 A, B, P, Q는 다음과 같은 조건을 만족합니다. 

 

 

 

 

 

 

 

사각형 APQB의 넓이를 구하는 것이 우리의 목표입니다. 

 

 

 

 

 

---

 

[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 조건을 만족시키는 점 A, B 설정

 

 

직선 AB의 기울기가 대충 1보다 작게끔 A, B를 잡아줍니다. 점 A에서 y = x에 내린 수선의 발을 P라고 한다면, 수직이므로 직선 AP는 기울기가 -1인 직선이 됩니다. 즉 직선 AP를 연장해준다면 역함수인 2^x와 만나는 점과 대칭적인 상황이 되겠네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 조건 (가) 활용

 

(가) 조건을 활용해주기 위해서는 직선의 방정식을 설정해주어야합니다. y절편을 알고싶기 때문이죠.

 

 

 

물론 y좌표를 log_2a, log_2b로 설정해 줄 수 있겠지만 솔직히 쓰기 귀찮잖아요? 일단은 문자가 겹치지 않게 끔 설정해주었습니다.

 

 

 

 

 

 

점 A = (a,n)를 지나고 기울기가 -1인 직선을 편의 상 l1으로 표현 해 주겠습니다. 

 

 

 

점 B = (b, m)을 지나고 기울기가 -1인 직선을 l2라고 둘 수 있겠죠?

 

 

 

 

 

그림을 보시면 알겠지만 (가) 조건에서 직선 AP (l1)의 y절편이 직선 BQ (l2)의 y절편보다 크다고 나와있습니다. 둘이 뺀 값이 양수가 나와야하기 때문이죠.

 

 

 

 

 

 

 

사실 문제를 풀어봤으니 당연히 B가 A보다 왼 쪽에 있다는 사실을 알고 있었지만 일부러 문제를 처음 풀었을 때 처럼 점을 설정한 것입니다. 

 

 

 

 

l1의 y절편에서 l2의 y절편을 뺀 결과가 2분의 13이 나와야합니다.

 

 

 

l1과 l2의 x에 각각 0을 대입하여 서로 빼 줍니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) (나) 조건 활용

 

 

 

설정한 A, B의 좌표를 이용하여 기울기를 표현해봅시다. 

 

 

 

그 이후 적절하게 식을 이항해준다면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

 

 

step 2 에서 얻어 낸 관계식을 잘 조작해준다면 두 조건을 연결해서 활용 해 줄 수 있습니다.

 

 

 

 

 

a,b와 n,m을 한 쪽에 몰아주는 방법으로 식을 이항해줍니다.

 

 

 

 

 

그 이후 양변에 6을 곱해주며 두 관계식을 연립하여 활용해줍니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n-m = 3 이므로 a-b는 2분의 7이 되겠네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 로그 혹은 지수 함수를 통한 A,B의 위치 확정

 

B와 A는 밑이 2인 로그 함수 위의 점이었으므로 대입하면 성립하겠죠?

 

n - m = 3임을 알고있으므로 이를 이용해줍니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

다음과 같이 a,b,n,m 모든 점의 좌표를 구해냈습니다. 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) 사각형 ABQP의 넓이 구하기

 

 

그림과 같이 사각형 ABQP를 두 개의 삼각형 S1과 S2로 분해 한 뒤 S1+S2로 사각형의 넓이를 구해줄 예정입니다.

사실 이렇게 넓이 S1, S2를 더한 값을 한 번에 구하는 것이 사다리꼴 넓이 공식인 것이죠.

 

 

 

 

 

다음과 같이 두 직선 사이 y 좌표 차이는 항상 2분의 13입니다. 또한 기울기가 -1이므로 x축과 축에 대하여 45도 각도를 이루게 됩니다. 두 직선 사이의 최소 거리를 구해준다면 45도를 이루므로 1 : 1 : 루트2 비율을 만족하게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

즉 그림에서 사다리꼴의 높이는 이와 같이 나타낼 수 있겠네요. 이제 AP의 길이와 BQ의 길이를 구해내면 사다리꼴의 넓이 공식을 이용하여 넓이를 구할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

역함수 관계임을 활용해준다면 쉽게 AP의 길이를 구할 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

선분 QB의 길이 역시 마찬가지 방법으로 구해주시면 되겠습니다. 그림이 좀 많이 왜곡되었지만 길이는 맞을겁니다.

 

 

 

 

 

 

 

사다리꼴의 넓이 공식을 활용해줍니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

정답은 (13 x 5) + 8 = 65 + 8 = 73이 되겠네요!

 

 

 

 

 

---

---