[270322] 지수방정식의 범위를 통한 자연수 확정 [정답률 7%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 그림을 통한 상황 이해

 

그림을 엄밀하고 정확하게 그리지 않더라도 언제나 $g(x)$가 $f(x)$보다 크다는 사실을 알 수 있습니다. 밑도 더 큰데다가 애초에 점근선 역시 양수이기 때문에 두 함수 $g(x),f(x)$의 대소관계가 바뀌는 지점이 없기 때문이죠. 이를 통해 그냥 $g(x)-f(x)=\frac{1}{5}$를 만족하는 실근 두 개를 찾으면 되는 상황입니다.

 

 

$$g(x)=2^{\left ( 2x+1 \right )}+\frac{1}{2^k}$$

 

$$f(x)=2^x$$

 

두 함수끼리의 연산을 하기 위하여 $g(x)$의 밑을 2로 바꿔줍니다.

 

 

$$2^{\left ( 2x+1 \right )}-2^x+\frac{1}{2^k}=\frac{1}{5}$$

 

$$2^{\left ( 2x+1 \right )}-2^x+\frac{1}{2^k}-\frac{1}{5}=0$$

이제 그냥 방정식을 풀 듯이 문제를 풀어주면 되겠네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 지수방정식 해석

 

해석하기에 앞서 상수항이 복잡하므로 a로 치환하고 가겠습니다.

 

$$2^{\left ( 2t+1 \right )}-2^t+a=0$$

 

위의 식을 보고서 지수방정식을 떠올렸던 학생이라면 k가 자연수여서 찍기 쉬웠을 법한 문제였습니다. 애초에 만족하는 k값이 1개로 제한되어있기 때문에 1,2,3 등을 대입해가며 풀어도 어렵지 않게 풀렸던 문제였습니다. 

 

 

 

$$2^t=X$$ 다음과 같이 2의 x승을 X라고 정의해주면 이차함수로 정의된 지수방정식 꼴이 나오게 됩니다.

 

 

 

$$2X^2-X+a=0$$

 

상수항의 값을 모르므로 근과 계수의 관계를 사용해 줄 것인데 만족하는 실수 t의 값이 2개 존재하므로 실근이 2개가 존재한다는 것입니다.

 

$0<X$ 또한 많은 학생들이 지수방정식을 해결 할 때 쉽게 놓치는 부분인데 X의 정의역은 0보다 큰 구간에서 정의된다는 것을 명심하고 갑시다.

 

 

일단 실근이 2개 존재해야하므로 판별식을 이용하던지 완전제곱꼴을 이용하여 a의 범위를 파악해줍니다.

 

 

$$2\left (  X-\frac{1}{4} \right )^2+a-\frac{1}{8}=0$$

 

완전제곱식을 통해 최솟값의 범위를 파악해준다면 다음과 같은 정보를 얻게 됩니다.

 

$$a<\frac{1}{8}$$

 

 

이제 이차방정식에서 자주 사용하는 근과 계수의 관계를 사용 할 수 있겠죠?

 

$$2X^2-X+a=0$$

 

다음 방정식의 두 실근을 각 각 $2^\alpha $, $2^\beta $ 라고 두겠습니다. 이 부분 또한 많은 학생들이 놓치기 쉬운 부분인데 결국 실근인 α. β가 X가 아닌 $2^{t}$에 들어가는 것입니다.

 

 

$$2^\alpha \times 2^\beta =2^{a+b}=\frac{a}{2}$$

 

 

X에 대한 이차방정식의 실근이 각각 $2^\alpha $, $2^\beta $일 뿐이지 결국 본질적으로 이를 만족하는 실수 t는 각각 α, β입니다. 

 

 

$$2^{p}=\frac{a}{2}$$

 

즉 다음과 같은 정보를 얻을 수 있겠죠?

 

또한 $2^{p}$의 범위 역시 0보다 커야하므로 최종적으로 다음 결론을 얻을 수 있겠습니다.

 

$$0<a<\frac{1}{8}$$

 

k = 1인 경우를 살펴볼까요?

 

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{3}{10}=a$$

 

$\frac{3}{10}$은 $\frac{1}{8}$보다 큰 수이므로 조건에 부합하지 않겠네요.

 

 

k = 2인 경우를 살펴봅시다.

 

$$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20}=a$$

 

$a=\frac{1}{20}$인 경우 $0<a<\frac{1}{8}$ 다음 범위를 만족하므로 k = 2인 상황이 정답인 상황입니다.

 

 

k = 3인 경우 마저도 살펴봅시다.

 

$$\frac{1}{8}-\frac{1}{5}=-\frac{3}{40}=a$$

 

k가 3 이상의 자연수인 상황에서는 언제나 음수가 되므로 범위를 만족할 수 없게 됩니다.

 

 

$$2^p=\frac{a}{2}=\frac{1}{40}$$

 

$$\left ( \frac{1}{2} \right )^p=\frac{2}{a}=40$$

 

결국 다음과 같이 k, $\left ( \frac{1}{2} \right )^p$의 값이 모두 확정됩니다.

 

$$k\times \left ( \frac{1}{2} \right )^p=2\times 40=80$$

 

정답은 80이 되시겠습니다.