[260720] 지수 함수의 점근선 (정답률 19%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 함수 $g(x)$ 분석

 

함수 $g(x)$의 비주얼이 좀 압도적이긴 하죠? 하지만 결국 절댓값이 포함된 함수를 다루는 방법을 제대로 알고 있었다면 쉬웠던 문제였습니다.

 

 

$$g(x)=2^{x+1},[x<4]$$

 

x가 4보다 작은 구간에서는 절댓값 안의 함수가 -가 붙어서 나오므로 분모와 분자가 서로 약분되면서 $g(x)=2^x+2^x=2^{x+1}$ 다음과 같이 나오게 됩니다.

 

$$g(x)=2f(x),[4<x]$$

 

x가 4보다 큰 구간에서는 절댓값 안의 함수가 그대로 나오며 결국 $g(x)=f(x)+2^x+f(x)-2^x=2f(x)$ 다음과 같이 함수가 정의됩니다.

 

또한 x = 4인경우 발문에서 알려주었듯이 함수 자체가 정의가 되지 않습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 발문의 조건을 이용하여 미지수 a, b 구해내기

 

 

$$f(x)=-2^{-x+a}+b$$

함수 $f(x)$는 다음과 같이 $2^x$를 x, y축 대칭시키고 x,y축 방향으로 각각 a,b만큼 평행이동된 함수입니다.

 

점근선인 $y=b$의 위치와 x축 방향으로 어느정도만큼 평행이동 되었는 지는 알 수 없지만 그래프의 개형이 아래에서 점근선을 향해 증가하는 개형인 건 알 수 있습니다.

 

 

 

대충 $2f(x)$의 개형이 다음처럼 생겼다고 일단 가정하고 들어갑시다. 다음이 $2f(x)$의 개형이 되겠습니다.

 

 

 

 

 

$x<4$ 구간에서의 함수인 $2^{x+1}$은 0,1이라는 정점을 지나는 지수함수이므로 쉽게 그릴 수 있을 것입니다.

 

 

 

 

$x<4$ 구간에서의 $2^{x+1}$ 이라는 함수에 x = 4를 대입하면 $2^5=32$이므로 다음과 같이 함수가 (4, 32)를 지날 뻔 하게 됩니다. 

 

여기에서 조건을 만족시키기 위해서는 모든 $y = t$에 대하여 교점이 0개 혹은 2개가 되어야 합니다.

 

일단은 $x<4$ 구간에서의 점근선은 $y = 0$ 이므로, $y<0$인 모든 구간에서는 교점이 0개 존재해야합니다. 왜냐하면 $x<4$ 구간에서는 교점이 존재하지 않고, $x>4$ 에서는 교점이 최대 1개까지 존재하게 만들어 줄 수 있습니다. 그러면 결국 $y<0$ 에서 교점이 1개만 발생 할 것이므로 조건과 모순입니다.

 

또한 $0<y<32$까지 항상 교점이 2개 존재해야합니다. $x<4$에서는 $0<y<32$ 까지 y값에 관계없이 하나의 교점을 반드시 가지게 되겠고, 이에 맞춰서 $x>4$에서도 $0<y<32$ 구간에서 교점이 하나 씩 존재해서 교점이 2개 존재해야 할 조건을 만족시켜야 합니다.

 

또한 $32\leq y$ 범위에서는 함수와 $y = t$의 교점이 존재하면 안됩니다. 

 

 

 

 

즉 함수가 다음과 같이 존재하는 경우 조건을 만족시킬 수 있습니다.

 

$2f(x)=2\times-2^{-x+a}+b$

 

함수 $2f(x)$는 점 4,0을 지나야 하며, 점근선은 $y=32$이어야 함 

 

정보를 전부 뽑아먹어줍시다. 일단 $b = 32$로 확정이 되겠네요.

 

$$f(4)=-2^{-4+a}+32=0$$

 

$$2^{-4+a}=32=2^5$$

 

$-4+a=5$,           $a=9$

 

$$f(x)=-2^{-x+9}+32$$

 

$$f(6)=-2^{-6+9}+32=-8+32=24$$