[260512] 로그함수와 직선의 기울기 기하적 해석 (정답률 46%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1 ) 두 삼각형 $ACB$와 $OCA$의 넓이가 2로 같음 이용하기

 

 

 

삼각형 $OCB$의 넓이를 이등분하는 점이 A이며, 삼각형 $ABC$와 $OCB$는 전부 $\overline{BC}$를 밑변으로 하는 삼각형이므로, 다음과 같이 두 삼각형의 높이의 비율이 $1:2$ 라는 점을 알 수 있습니다. 결국 점 A는 선분 $\overline{OB}$의 중점이 되므로, 점 A의 x좌표는 $x=\frac{t}{2}$입니다. 또한 점 A와 B의 y좌표의 차이도 $1:2$ 비율을 이루므로 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.

 

 

$2\log_a\frac{t}{2}=\log_at$,   $\frac{t^2}{4}=t$,   $t=4$

 

t = 4이므로, 점 A의 x좌표는 2가 되겠네요. 

 

결국 높이인 h가 2이므로, 밑변인 $\overline{BC}=2$를 만족합니다. 그래야 두 삼각형의 넓이가 2를 만족하기 때문이죠. 

 

$\overline{BC}=3\log_a4-k=2$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2 ) 점 A가 두 로그함수의 교점임을 이용하기  

 

$3\log_a2=k$,    $3\log_a4=k+2$,   $6\log_a2=k+2$

 

$\frac{6\log_a2}{3\log_a2}=\frac{k+2}{k}$,  $2k=k+2$,  $k=2$

 

$\log_a8=2$,  $a^2=8$,   $a=2\sqrt{2}$

 

a, t, k 모든 값을 구했으므로 이제 정답만 내주면 되겠네요.

 

 

$a\times k\times t=2\sqrt{2}\times 2\times 4=16\sqrt{2}$

 

정답은 3번이 되겠습니다.