[241121] 로그함수 개형 추론 (정답률 21%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) $(-1\leq x< 6)$ 범위에서의 함수 $f(x)$ 개형 확인

 

일단 $(-1\leq x< 6)$ 범위에서 함수 $f(x)$는 굉장히 그리기 쉬운 이차함수입니다. (3, 9)에서 최댓값을 가지는 이차함수이기 때문이죠.

 

 

 

이제 $(x \geq 6)$ 범위에서 로그함수인 $a\log_4\left ( x-5 \right )$를 그려주시면 되는데, 위의 함수가 점 (6,0)을 지나는 것은 너무나 명확한 사실입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 닫힌구간 $[t-1, t+1]$에서의 $f(x)$의 최댓값 $g(t)$가 구간 $[0, \infty )$ 에서 최솟값 5를 가지기 위한 양수 a 범위 구해내기

 

 

$t\geq 0$인 실수 t이므로 일단 $t = 0$인 상황부터 조사를 해야합니다. $t=0$인 경우 $[-1, 1]$ 구간에서 최댓값은 $x=1$인 상황입니다.

 

 

즉 함수 $g(t)$는 $t=0$일 때 $g(0)=5$ 부터 시작하는 함수가 될 것이며, t가 증가함에 따라 최댓값인 $g(t)$역시 증가하게 될 것이며, 이차함수의 최댓값인 $x=3$에 도달하게 되는 $(2\leq t\leq 4)$ 범위 내에서 $g(t)=9$로 일정할 것입니다.

 

 

 

또한 $(-1\leq x< 6)$ 범위에서의 함수 $f(x)$는 대칭축이 $x = 3$인 이차함수이므로, 함수 $g(t)$는 $t=6$까지 다시 $(0<t<2)$ 범위와 대칭을 이루며 내려가게 될 것입니다.

 

여기서 이슈가 생기게 되는 구간이 바로 $t = 6$입니다. $[5, 7]$ 범위에서 함수 $f(x)$의 최댓값은 $a\log_42$의 값이 얼마냐에 따라서 $a\log_42$ 혹은 $g(5)=5$가 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

임의의 $a\log_4\left ( x-5 \right )$를 그려본 결과입니다. 다음처럼 $f(5)>f(7)$인 경우 최댓값은 $g(6)=f(5)=5$로 정해지게 되겠고, 여기서 $t=6$보다 아주 조금만 커져버리면 최댓값은 $f(5)$보다 아주 살짝 작아지게 됩니다. 그러한 경우 결국 실수 전체 집합에서 최솟값이 5를 만족 할 수 없으므로 모순인 상황입니다.

 

 

$g(t)$ 그래프는 다음과 같이 $t=5$보다 큰 구간에서 감소하다가 $a\log_4\left ( x-5 \right )$는 결국 증가하는 함수일 것이므로 다시 계속해서 증가하는 개형이 될 겁니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

모순이 생기는 상황이었던 이유가 바로 $f(5)>f(7)$인 상황이어서 그랬던거죠? 이번에는 $f(5)=f(7)$인 상황을 확인해보도록 합시다.

 

다음과 같은 상황에서는 $g(6)=f(5)=5$를 만족시키며, $t=6$보다 살짝 커지는 순간 최댓값은 $g(7)$보다 살짝 커지므로 결국 5보다 커지며 계속 증가하는 함수가 될 것입니다.

 

 

 

 

 

즉 최댓값함수인 $g(t)$의 개형은 다음과 같을 것이므로 정답인 상황입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

참고로 $f(5)<f(7)$인 경우 역시 실수 전체 집합에서 $g(t)$의 최솟값이 5임을 만족합니다. 결국 $g(6)=f(7)$이 될 것이며 $f(7)>5$, $g(t)$는 $t>6$에서 증가하는 증가함수일 것이므로

 

 

 

 

대충 다음과 같이 $g(t)$의 개형이 정해지게 될 것이죠. 

 

하지만 결국 문제에서 양수 a의 최솟값을 구하라고 했으므로 다음의 부등식을 해결하면 되겠습니다.

 

$a\log_42\geq 5$

 

$\frac{a}{2}\geq 5$

 

$a\geq 10$

 

다음 부등식을 만족하는 양수 a의 최솟값은 10이므로 정답은 10이 되겠습니다.