[261120] 수학적 귀납법 (정답률 30%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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역시 주관식의 힘인가 봅니다. 주관적인 체감으로는 난이도가 15번보다 쉬웠음에도 불구하고 정답률이 훨씬 낮게 나왔습니다.

 

천천히 같이 풀어보면서 빈칸에 알맞은 수식을 구해봅시다.

 

 

수열 an의 정의가 주어져있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

첫 번째 빈칸입니다. 수열의 일반항인 a(n+1)을 수열의 합 규칙을 이용하여 구해내는 과정입니다.

 

n 자리에 각 각 n+1, n 을 집어넣고, 두 식을 빼 봅시다.

 

 

 

 

 

 

두 식을 빼주면 되겠죠?

 

 

 

 

 

식을 정리 해주고 좌변의 시그마를 a(n+1)으로 바꿔줍니다.

 

 

 

 

 

 

이와 같이 (가)를 구해줄 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

그 다음에는 구해놓은 (가)에 3을 곱하면 그냥 n이 나오죠? 

 

 

 

 

 

 

 

 

이번에는 (나)를 구하러 가봅시다.

 

 

 

 

일단 n에 2를 대입한 뒤

 

 

결국 좌변이 a1+a2 였으므로 두 결과가 같다고 둡시다.

 

 

 

a1은 7이었다고 했으므로 살짝 정리 후 양변에 3을 곱한 뒤 a2를 이항해주면 a2의 값을 구해낼 수 있겠죠?

 

 

 

 

 

 

 

(나) = 10이 되겠네요.

 

 

 

 

이제 ㄱ과 ㄴ을 적절히 활용해볼까요?

 

 

 

 

 

이제 위 식을 구해주면 끝이 나게 됩니다.

 

 

 

ㄱ을 활용해봅시다. 결국 2보다 큰 모든 자연수 n에 대해 2an+a(n+1) = (n+1)이 되겠습니다. 

 

 

 

위 식을 풀어보면

 

2a3+a4

2a4+a5 와 같이 2an+a(n+1) 을 더하는 것을 반복하고 있습니다. 즉 각 항에 n에 해당하는 3,5,7,9,11을 모두 더해주면 되겠습니다.

 

 

즉 위의 식은 5x7 = 35가 되겠습니다. 여기에 a1+a2인 17을 더해주면 52가 되겠네요.

 

 

 

 

이제 답을 구하러 갑시다!

 

 

 

 

위와 같이 최종적인 답을 130으로 구할 수 있게 됩니다. 진짜 시그마 수식 하나하나 직접 쓰는거 토나오네요 

 

 

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