[241111] 부분 분수의 합과 등차수열 [정답률 47%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 등차수열의 관계식을 통한 등차수열 파악

 

일단 $a_8$은 양수입니다. $a_6$이라는 상수에 절댓값을 씌운 결과가 $a_8$이므로 $a_8$은 양수 일 수 밖에 없습니다.

 

$-a_6=a_8$ or $a_6=a_8$

 

즉 수열 $a_n$은 다음 둘 중 하나의 식을 만족시켜야하는데 $a_6=a_8$인 경우, 등차인 d가 0이라는 의미이므로 문제의 조건과 부합하지 않겠죠? (공차가 0이 아닌 등차수열 $\left\{ a_n\right\}$에 대하여)

 

$$a_6+a_8=0$$

 

즉 등차수열 $\left\{ a_n\right\}$은 다음 관계식을 만족시켜야 합니다. 결국 두 수열의 평균이 $a_7$이므로 $2a_7=0$을 만족해야 합니다.

 

$a_1+6d=0$, $a_1=-6d$

 

즉 등차수열 $ \left\{ a_n\right\}$은 첫 항이 -6d이고 등차가 d인 등차수열이 되겠습니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 부분 분수의 합을 이용하여 등차 d 구하기

 

허수들의 악몽과도 같은 부분 분수의 합으로 주어진 수열입니다. 일단 공식을 외우는 것 자체가 좀 귀찮은 편에 속하죠.

 

$$\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{a_na_{n+1}}=\left ( \frac{1}{a_{n+1}-a_n} \right )\left ( \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}} \right )$$

 

하지만 우리는 더 이상 허수가 아닙니다.

 

$$\sum_{n=1}^{5}\frac{1}{a_na_{n+1}}=\left ( \frac{1}{a_{n}+d-a_n} \right )\left ( \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}} \right )$$

 

$$\sum_{n=1}^{5}\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{d}\left ( \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}} \right )$$

 

$$\sum_{n=1}^{5}\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{d}\left\{ \left ( \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2} \right )+ \left ( \frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3} \right )+... \left ( \frac{1}{a_5}-\frac{1}{a_6} \right )\right\}$$

 

 

$$\sum_{n=1}^{5}\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{d}\left ( \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_6} \right )$$

 

$$\sum_{n=1}^{5}\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{d}\left ( \frac{1}{-6d}-\frac{1}{-d} \right )$$

 

$$\sum_{n=1}^{5}\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{d}\left ( \frac{5}{6d} \right )$$

 

$$\sum_{n=1}^{5}\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{5}{6d^2}=\frac{5}{96}$$

 

$6d^2=96$, $d^2=16$, $d=\pm4$

 

d가 음수인지 양수인지를 판단해야하는데 결국 $a_6$이 음수, $a_8$이 양수였으므로 등차는 양수 일 수 밖에 없겠네요. $d=+4$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 등차수열의 합 공식을 이용하여 답 내기

 

 

$$\sum_{k=1}^{15}a_k=\frac{15(a_1+a_{15})}{2}=\frac{15(2d)}{2}=15d=60$$

 

다음과 같이 등차수열의 합 공식을 이용하여 답을 구해 낼 수도 있지만

 

 

$$\sum_{k=1}^{15}a_k=15a_7=15d=60$$

 

결국 등차수열의 홀수 항 까지의 합은 등차수열의 평균값의 항 갯수를 곱하여 바로 다음과 같이 진행하셔도 됩니다.

 

 

 

정답은 1번이 되겠네요.