[240921] 등차수열의 합들의 합을 통한 공차 구하기 (정답률 12%)

 

 

 

 

 

 

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[ 발문 확인 ]

 

정답률에 비해서는 생각보다 별 것 아닌 문제였습니다. 일단 발문을 통해 정보를 뽑아볼까요?

 

 

 

 

 

 

정보 1) {a_n}은 모든 항이 자연수인 등차수열이라고 합니다. 등차수열에서 모든 항이 자연수이기 위해서는 첫 항인 a1과 공차인 d가 전부 자연수여야지만 모든 항이 자연수가 될 수 있습니다. 

 

 

 

 

 

 

정보 2) a7 = 13의 배수입니다. 13, 26, 39 등 13의 배수이므로 a7 = 13k 라고 두는 것이 좋겠네요. (k는 자연수)

 

 

 

 

 

 

정보 3) 특이하게도 수열 an의 합인 Sk의 합을 알려주고 있습니다. 일단은 그렇다고 치고 넘어갑시다. 

 

 

 

 

 

 

우리의 목표는 a2의 값을 구하는 것 입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

Step 1) 일단 우리가 가장 구하고 싶은 것은 바로 Sn입니다. 기본적으로 an은 등차수열이고 Sn은 등차수열의 합이므로 공식을 이용하여 Sn을 구할 수 있습니다. 

 

첫 째 항도 모르고, 공차도 모르므로 일단 미지수를 설정 할 수 밖에 없겠군요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2 ) Sn을 구했으므로 문제에서 주어진 식을 사용해봐야겠죠? S1+S2+S3+...+S7 까지 더해봅시다.

 

 

 

S1+S2+S3..의 값은 이런식으로 나아갈테니 패턴을 파악하여 식을 정리해봅니다. 일단 기본적으로 a1들은 2a1+4a1+6a1+....+14a1 이므로 등차중항을 이용한다면 총 7개의 항, 중앙 항이 8a1이므로 (8x7)a1 으로 구해줄 수 있게 됩니다. 

 

또한 d들의 합은 (0x1 + 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5 + 7x6) 이므로 (0+2+6+12+20+30+42)d = 112d가 됩니다. 이를 2로 나누면 되므로 S1+S2+S3+...+S7의 값은 아래와 같이 나오게 됩니다. 항이 많지 않으므로 그냥 직접 더해줍니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3 ) 양 변을 나눌 수 있을 만 한 자연수를 찾아봤더니 28 이라는 소인수를 공통적으로 가지고 있다는 것을 발견했습니다. 28으로 나눠주었더니 a1 + 2d = a3 으로 표현 해줄 수 있겠네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) a7 = 13k 임을 활용 해 줄 차례입니다. 

 

 

 

 

 

d는 자연수이므로 k = 1일 때는 식을 만족 할 수 없다는 게 너무 당연해보이므로 2부터 차례대로 대입해보면 d의 값이 나오겠습니다. 

 

 

k = 2인 경우입니다. d의 값이 자연수가 나오지 않으므로 모순입니다.

 

 

k = 3인 경우입니다. 4d = 16, d = 4 자연수가 나오므로 d = 4임이 확정되겠습니다. 만약 3 말고도 다른 k의 값이 나온다면 어차피 출제 오류이므로 그냥 d = 4 라고 확정짓습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 5) d = 4임을 이용하여 a2의 값을 구해봅시다. a3 = 23이었으므로 a3 - 4 = a2, a2 = 19가 되겠죠? 정답은 19가 되겠습니다.

 

문제 자체는 정말 쉬웠지만 S1+S2+S3+....+S7을 구하는 계산 과정이 은근히 복잡하고 헷갈려서 정답률이 상당히 낮게 나온 듯 싶습니다.

 

 

 

 

 

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