[250927] 서로 합동인 등변 사다리꼴과 정사영 [정답률 53%]

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 단면화를 통한 도형 이해

 

점 A에서 평면 EFGH에 내린 수선의 발을 A'이라고 합시다. 

 

 

 

 

사각뿔대의 높이인 $\overline{AA'}=\sqrt{14}$, 그리고 $\overline{A'P}=1$가 되겠네요.

 

 

 

삼수선의 정리에 의해 선분 AP와 EF는 서로 수직이 됩니다. 

 

 

 

이를 단면화를 통해 이해해본다면 다음과 같은 상황이 되는 것이죠.

 

다음 조건에 의해  그림상에서 보이는 모든 사다리꼴은 합동입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 평면 AEHD와 BFGC 사이의 이면각 구하기

 

 

두 평면이 만나게 만들기 위하여 평면을 평행이동해옵니다. 

 

 

이면각을 구하기 위해서는 교선 AD 위의 점에서 각 평면에 수선의 발을 내려 준 뒤 두 수선 사이의 각도를 구해내야합니다. 

 

 

 

코사인 법칙을 이용하여 $\cos\theta$를 구해줍니다.

 

 

$$\cos\theta =\frac{15+15-4}{2\times \sqrt{15}\times \sqrt{15}}$$

 

$$ \cos\theta =\frac{13}{15}$$

 

이제 사다리꼴 AEHD의 넓이를 구한 후 $\frac{13}{15}$만큼을 곱해주면 정사영된 넓이가 나오겠네요.

 

 

$$\square AEHD=\frac{(6+4)\times \sqrt{15}}{2}=5\sqrt{15}$$

 

사다리꼴의 넓이 공식을 활용하여 사각형 AEHD의 넓이를 구해줍니다. 

 

 

$$5\sqrt{15}\times \frac{13}{15}=\frac{13}{3}\sqrt{15}$$

 

결론적으로 정사영 된 도형의 넓이는 다음과 같으므로 정답은 4번이 되겠습니다.