[250727] 삼수선의 정리 활용 [정답률 42%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 삼수선 정리 활용

 

 

 

첫 번째 삼수선 정리의 활용입니다. $\overline{PA}\perp\overline{AC}$, $\overline{P'P}\perp\overline{AC}$ 삼수선의 정리에 의하여 $\overline{P'A}\perp\overline{AC}$

($\overline{P'P}$는 평면 α 위의 모든 직선들과 수직을 이룸) 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 번째 삼수선 정리의 활용입니다.$\overline{PH}\perp\overline{CB}$, $\overline{P'P}\perp\overline{CB}$ 삼수선의 정리에 의하여 $\overline{P'H}\perp\overline{CB}$

($\overline{P'P}$는 평면 α 위의 모든 직선들과 수직을 이룸) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 발문에서 주어진 관계식 이용 

 

$$\frac{\overline{AP}}{\overline{CA}}=\frac{\overline{BP}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{BA}}{\overline{BC}}$$

 

다음과 같이 미지수를 설정해줍니다. $\overline{CA}=k$

 

 

$$\frac{3}{k}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}k}=\frac{\overline{BA}}{\overline{BC}}$$

 

주어진 관계식에 의해 $\overline{BA}=\sqrt{2}k$가 됩니다. 

 

 

 

 

또한 삼각형 BAC는 직각삼각형이므로 $\overline{BC}=\sqrt{3}k$

 

$$\frac{3}{k}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}k}=\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{3}k}$$

 

$$\frac{3}{k}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

 

결과적으로 $k=\frac{3\sqrt{6}}{2}$이 되므로 직각삼각형 BAC의 모든 변을 구할 수 있게 됩니다.

 

 

 

즉 $\sqrt{2}k=3\sqrt{3}$이므로 삼각형 BAP마저도 직각삼각형이라는 사실을 알 수 있습니다. 

 

 

 

$\angle {PAB}=\theta $라고 가정한다면 $\sin\theta =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

 

$$\frac{\overline{P'P}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sin\theta $$

 

$\overline{P'P}=\sqrt{6}$이 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

$\sqrt{2}k=3\sqrt{3}$, $\frac{\sqrt{2}k}{3}=\sqrt{3}$ 

 

 

 

 

 

 

$\angle {ABC}=\lambda $라고 둡니다. (기하를 공부하는 것만 봐도 알 수 있듯이 홍대병이 있어서 λ으로 둔거임) 

 

$\sin\lambda =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\overline{P'H}}{2\sqrt{3}}$ (참고 : $\frac{2\sqrt{2}k}{3}=2\sqrt{3}$)

 

$\frac{\overline{P'H}}{2}=1$ 즉 $\overline{P'H}=2$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$\overline{PH}=\sqrt{10}$ 정답은 2번이 되겠습니다.