[231030] 정사영 적극 사용 [정답률 17%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 정사영을 이용하여 조건 [가] 해석

 

 

점 C의 평면 ADEB 위로의 정사영 해온 점을 C'이라고 두겠습니다. 또한 점 G의 평면 ADEB 위로의 정사영은 그냥 점 G 그대로입니다. 

 

 

 

 

단면화를 통해 바라보면 $\overline{C'G}=4$가 되며

 

 

 

 

H를 정사영해온 점 H'의 위치는 다음과 같아집니다. 삼각형 C'GH'가 정삼각형이어야 하기 때문이죠.

 

 

 

 

 

이를 삼각기둥 위에서 본 단면화로 표현해주면 점 H에서 내린 수선의 발이 점 B의 위치와 같아야 하므로 점 H는 이와 같이 $\overline{AB}$와 수직을 이루고, 내린 수선의 발이 B와 같아지는 파란 직선 위에 있는 점이라는 사실을 알 수 있습니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 정사영을 통한 조건 [나] 해석

 

삼각형 DEF의 넓이는 한 변의 길이가 4인 정삼각형이므로 $4\sqrt{3}$입니다. 

 

삼각형 G'C'H'와 삼각형 DEF 내부의 공통부분의 넓이가 이에 절반인 $2\sqrt{3}$에 해당하므로, 삼각형 G'C'H'는 삼각형 DEF를 정확히 이등분하게 됩니다.

 

 

 

즉 점 H'의 위치는 다음과 같아집니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 삼각형 CGH의 평면 ADFC 위로의 정사영의 넓이 구하기

 

 

아직까지 점 H에 대해 얻은 정보는 두 가지가 있습니다. 

 

 

1. 점 H는 점 G와 동일한 높이를 가진다. 

 

 

2. 점 H를 평면 ADFC에 내린 수선의 발을 H''이라고 했을 때, 선분 $\overline{G'H''}$의 길이는 4이다.

 

 

 

 

 

삼각형 CGH의 평면 ADFC 위로 정사영 해온 삼각형은 다음과 같습니다. $\overline{CG}$의 길이를 구하면 피타고라스 정리를 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있게 됩니다. (정보 : 직각삼각형이 되는 이유는 H에서 평면에 정사영한 점과 G를 이으면 길이가 4로 AC와 동일하므로 CH'와 GH'는 서로 수직이 됩니다.)

 

 

 

 

 

$\overline{CG}=2\sqrt{7}$

 

 

 

 

 

삼각형의 넓이는 $4\sqrt{3}$이므로 제곱해주면 48이 되겠네요. 정답은 48입니다.