[191119] 공간도형에서의 넓이비와 닮음 [정답률 40%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 단면화를 통한 상황 이해

 

 

삼각형 CDH, BCH, DBH는 전부 밑변이 12로 동일하며 높이 차이만 다른 삼각형입니다. 즉 발문에서 삼각형의 높이라고 할 수 있는 수선의 발의 길이에 대한 비율을 주고있는 것 이죠.

 

 

 

 

 

 

수선의 발 즉, 삼각형의 CDH, BCH, DBH의 넓이 간 비율관계가 다음과 같이 주어져있습니다. 

 

삼각형 CDH, BCH, DBH의 넓이를 전부 더해주면 한 변의 길이가 12인 정삼각형의 넓이와 동일해져야합니다.

 

$$ 6k+12k+18k=36\sqrt{3}$$

 

$k=\sqrt{3}$ 다음과 같이 k의 값을 구해 줄 수 있습니다.

 

 

$\overline{BD}$의 중점을 M이라고 두고 $\overline{CM}$을 표현하면 선분 $\overline{CM}$을 다음처럼 단면화된 그림에 표현 할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 삼수선의 정리 이용하기

 

 

 

점 A에서 $\overline{CM}$에 내린 수선의 발을 Q라고 둡니다. 결국 삼수선의 정리에 의하여 $\overline{HQ}$와 $\overline{CM}$은 서로 수직을 이루게 됩니다.

 

 

 

단면화를 통해 보면 다음과 같은 상황입니다. 결국 우리는 $\overline{HQ}$의 길이만 알면 $\overline{AH}$의 길이를 알고 있고 AHQ가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 사용하여 $\overline{AQ}$의 길이를 구할 수 있습니다. 

 

 

 

 

그림 상에 나와있는 모든 직각삼각형들은 $1:\sqrt{3}:2$ 비율을 이루는 특수각 직각삼각형입니다. 

 

 

 

 

길이가 2k인 수선의 발과 $\overline{QM}$은 완전히 합동인 직선이므로 길이 역시 서로 동일합니다. 

 

다음과 같이 직각삼각형들의 닮음을 이용하여 HQ의 길이가 2가 된다는 사실을 알아냈습니다.

 

 

 

삼각형 AQH는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 사용하면 다음과 같이 $\overline{AQ}=\sqrt{13}$이 나오게 됩니다.