[230730] 합동인 삼각형과 정사영 [정답률 5%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 조건 (가) 이용

 

조건 (가)를 통해 알 수 있는 사실은 $ \triangle {PAO}$는 한 변의 길이가 4인 정삼각형이라는 것입니다. $\overline{OA}=\overline{OP}=4$인 이등변삼각형의 나머지 한 각이 $\frac{\pi }{3}$이므로 나머지 동일한 두 각도 역시 $\frac{\pi }{3}$가 되므로 정삼각형인거죠.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 조건 (나), $\cos\left ( \angle {PAB} \right )=\frac{\sqrt{10}}{8}$ 이용

 

 

 

P의 평면 α로 정사영 해온 점을 P'이라고 두면 $\overline{PP'}$은 한 변의 길이가 4인 정삼각형의 높이가 되므로 $2\sqrt{3}$, 점 P'에서 $\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 H라고 두면 $\overline{AB}$와 $\overline{PH}$는 수직을 이룹니다.

 

 

 

$\sin\theta =\frac{3\sqrt{6}}{8}=\frac{y}{4}$

 

$y=\frac{3\sqrt{6}}{2}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 단면화를 통한 이해 

 

$\overline{OA}$와 $\overline{BC}$가 서로 수직이므로 $\triangle{ABC}$는 $\overline{AB}=\overline{AC}$를 만족시키는 이등변삼각형입니다.

 

 

또한 점 P'은 $\overline{OA}$의 중점이므로 $\overline{AP'}=\overline{P'O}=2$를 만족합니다.

 

 

 

 

 

직각삼각형 $\triangle{P'HP}$에서 피타고라스 정리를 사용해줍니다. $\overline{PH}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$

 

$$12+\overline{P'H}^2=\frac{27}{2}$$

 

$$\overline{P'H}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

 

 

 

$\overline{AB}$의 중점을 M이라고 두게 된다면 $\triangle{AHP'}:\triangle{AMO}=1:2$ 닮음비에 의해 $\overline{OM}=\sqrt{6}$이 됩니다.

 

다시 한 번 $ \triangle{AMO}$에서 피타고라스 정리를 사용합니다.

 

$$\overline{AM}^2+6=16$$

 

$$\overline{AM}=\sqrt{10}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) 교선에 내린 수선의 발 사이의 각도를 이용하여 정사영 넓이 구하기

 

 

평면 PAB와 PAC의 교선은 $\overline{PA}$입니다. 점 B,C에서 교선인 $\overline{PA}$에 내린 수선의 발 사이의 각도를 구해주면 그것이 이면각이 되겠네요. (참고 : $\triangle{PAB}$와 $\triangle{PAC}$는 서로 합동인 삼각형)

 

 

 

 

 

$$\sin\theta =\frac{3\sqrt{6}}{8}=\frac{\overline{BX}}{2\sqrt{10}}$$

 

$$\overline{BX}=\frac{3\sqrt{15}}{2}$$

 

이제는 BC의 길이를 구해주어야합니다.

 

 

 

 

$\sin\alpha =\frac{\sqrt{6}}{4}$

 

 

 

$$\cos\alpha =\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\overline{BN}}{2\sqrt{10}}$$

 

$$\overline{BN}=\sqrt{15}$$

 

$$2\overline{BN}=\overline{BC}=2\sqrt{15}$$

 

 

 

 

$\triangle{XBC}$에서 코사인 법칙 이용

 

$60=\frac{135}{2}-\frac{135}{2}\cos\theta $

 

$\cos\theta =\frac{15}{135}=\frac{1}{9}$

 

 

 

$\triangle{PAB}$의 넓이를 구해줍니다.

 

 

$\triangle {PAB}=\frac{1}{2}\times \frac{3\sqrt{6}}{2}\times 2\sqrt{10}=3\sqrt{15}$

 

$\triangle{PAB}$를 평면 PAC에 정사영한 넓이는 다음과 같습니다.

 

$\frac{\triangle {PAB}}{9}=\frac{\sqrt{15}}{3}=S$

 

$30\times S^2=30\times \frac{5}{3}=50$