[241128] 공간도형과 이차곡선의 결합 [정답률 30%]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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[ 풀이 과정 ]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Step 1) 단면화를 통한 이해 
 
평면 β를 기준으로 분해하여 $\overline{AB}=18$을 장축으로 삼는 타원을 그려보겠습니다.
 
 
 

점 H에서 $\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 H'이라고 한다면, $\triangle{F'H'H}$는 특수각 직각삼각형이 되며 $1:\sqrt{3}:2$ 비율에 따라 다음과 같이 길이를 표현이 가능합니다.
 
또한 중심이 H인 원의 반지름이 4이므로 $\overline{HQ}=4$, 타원의 장축이 18이므로 $\overline{F'Q}+\overline{FQ}=18$
 
$\overline{F'Q}=12$이므로 $\overline{FQ}=6$이 됩니다.
 
 
 

 
$\triangle{F'H'H}$와 $\triangle{F'FQ}$는 닮음이며, 닮음비가 2:3인 특수각 직각삼각형입니다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Step 2) 이면각 $\cos\theta$ 구하기
 
$\angle {PH'H}=\theta $이므로 $\overline{PH'}$의 길이만 구해준다면 $\cos\theta$를 구할 수 있습니다.
 
 

 
타원의 중심을 O라고 둡시다. 
 
$\overline{F'O}=c$는 타원의 초점 거리이며, $1:\sqrt{3}:2$ 비율에 의해 $\overline{F'F}=6\sqrt{3}=2c$
 
$\overline{F'O}=3\sqrt{3}$
 
또한 $\overline{F'O}+ \overline{OH'}=4\sqrt{3}$ 이므로, $\overline{OH'}=\sqrt{3}$
 
 
 

 
평면 α를 기준으로 단면화를 해줍니다. 원 $C_1$의 반지름을 빗변으로 하는 직각삼각형 $\triangle{OH'P}$에 대하여 $\overline{OH'}=\sqrt{3}$이므로, $\overline{PH'}=\sqrt{78}$입니다.
 
 
 

 
평면 α, β가 이루는 이면각 $\theta$에 대하여

$\cos\theta=\frac{\overline{HH'}}{\overline{PH'}}=\frac{4}{\sqrt{78}}$

 

$\cos\theta =\frac{2\sqrt{78}}{39}$

 
정답은 5번이 되겠습니다. 문제의 비주얼에 비해서는 정말 할 만 한 문제였습니다.