[260729] 외접하는 구와 코사인법칙 (정답률 17%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 단면화를 통한 변의 길이 구해내기

 

 

$\triangle{ACD}$는 빗변 $\overline{BD}=10$ 직각이등변 삼각형입니다. 그러므로 $\overline{BC}= \overline{CD}=5\sqrt{2} $를 만족합니다.

 

 

 

또한 점 A를 평면 BCD에 정사영시킨 점을 A'이라고 두게 된다면, $\angle {AOA'}=\theta $

 

$\cos\theta=\frac{3}{5}$이므로 $\overline{OA'}=3$, $\overline{AA'}=4$

 

 

 

 

또한 $\overline{AC}=\sqrt{74}$, $\overline{AC}$를 빗변으로 하는직각삼각형 AA'C에서 $\overline{A'C}=\sqrt{58}$이 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 단면화를 통해 삼각형 $\triangle{A'BD}$의 넓이 구하기

 

 

 

삼각형 ABD의 평면 BCD 위로의 정사영의 넓이는 곧 $\triangle{A'BD}$의 넓이가 됩니다. 삼각형 ABD의 평면 BCD 위로의 정사영된 도형이 $\triangle{A'BD}$가 되기 때문이죠.

 

$\triangle{A'BD}$의 밑변은 $\overline{BD}=10$이며 점 A'을 선분 BD에 내린 수선의 발이 높이가 될 것이므로 둘을 곱해주고 2로 나누면 $\triangle{A'BD}$의 넓이를 구할 수 있겠네요.

 

 

 

 

 

$\triangle{A'OC}$에서 코사인법칙을 사용해줍시다. $\cos{\angle {A'OC}}=\cos\left ( \frac{\pi }{2}+\alpha \right ) =-\sin\alpha$

 

$$58=34+30\sin\alpha $$

 

$$\sin\alpha =\frac{4}{5}$$

 

 

$$\sin\alpha =\frac{a}{3}=\frac{4}{5}$$

 

$$a=\frac{12}{5}$$

 

$$\triangle{A'BD}=\frac{1}{2}\times 10\times \frac{12}{5}=12$$

 

정답은 12가 되겠네요.