[270315] 미분계수를 이용한 삼차함수 f(x) 개형 추론 [정답률 32%]

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ] 

 

 

 

 

 

 

Step 1) (가), (나) 조건 해석

 

집합의 포함관계를 통해 조건을 주었습니다. 일단 (가) 조건은 그냥 $g(x) = -27$을 만족하는 실수 x의 개수가 2개라는 의미입니다. 하지만 (나) 조건이 문제 해결 과정에서 가장 중요했던 정보였습니다. $g(x) = -27$을 만족하는 두 개의 실수 $x_1$, $x_2$가 있을 때, $g'(x_1)=0$, $g'(x_2)=0$을 만족한다. 라는 의미입니다.

 

즉 g(x)가 -27에 닿았어? 그럼 무조건 미분계수 0이야 알겠지? 이런 느낌의 조건이었던거죠

 

 

 

 

느낌 상 f(x)가 삼차함수이므로 0보다 큰 구간에서는 최고차항 계수가 $\frac{1}{4}$인 삼차함수라는 것을 알 수 있습니다. 과연 0보다 큰 범위에서 삼차함수가 -27에 두 번 닿으면서 동시에 그 때마다 미분계수가 0임을 만족 할 수 있을까요?

 

 

 

최소 4차함수는 되어야지 조건을 만족 할 수 있지 않나요?

 

 

 

 

즉 일단 0보다 큰 구간에서 가능한 $\frac{1}{4}f(x)-bx^2$의 개형은 아무리 생각해봐도 이것 밖에 없지 않을까요? ($f(0)=0$)

 

 

 

 

 

또한 0보다 작은 구간의 함수를 보면 알겠지만 $f(0) = 0$이므로 $f(x)$는 $x$라는 인수를 가지며 결국 0보다 작은 구간의 함수는 $x^2$을 인수로 가지게 됩니다. 실수 전체의 집합에서 미분가능해야하므로, 0보다 큰 구간에서도 $f'(0)=0$을 만족해야겠죠? 

 

 

 

 

그러므로 0보다 큰 구간에서는 $g(x)$의 개형은 다음처럼 0에서 중근을 가지게 됩니다. 

 

 

 

 

 

그렇다면 결국 극댓값과 극솟값의 차이가 27이라고 봐도 무방한거죠?

 

$\frac{1}{4}f(x)-bx^2=h(x)$우리는 g(x)의 0보다 큰 부분을 h(x)라는 함수로 새로 정의한다면, h(x)의 개형 전부 아는거나 마찬가지죠?

 

$$h(x)=\frac{1}{4}x^2(x-k)$$

 

최고차항 계수를 알고 있으므로 도함수의 넓이를 이용하여 극솟값의 좌표를 찾아봅시다. 결국 비율관계를 이용하면 실근의 위치도 특정되니 말이죠

 

$$\int_{0}^{\alpha }\left | h(x)\right |=\frac{3}{4}\times \frac{\alpha ^3}{6}=27$$

 

$$\frac{ \alpha ^3}{8}=27$$

$\alpha =6$ 극솟값의 x좌표를 구해냈습니다.

 

 

 

비율관계를 이용해주면 $k = 9$ 남은 하나의 실근이 9임을 알 수 있습니다.

 

$$\frac{1}{4}f(x)-bx^2=x^2(x-9)$$

 

0보다 큰 구간에서의 함수 $g(x)$는 다음과 같이 확정되겠습니다.

 

 

 

이제 0보다 작은 구간에서 -27을 무조건 한 번만 만나야하며, 만나는 순간의 미분계수가 0이어야 합니다. 

 

 

다음 그림의 상황만이 유일한 방법이겠죠? 0보다 작은 구간에서는 사차함수가 되기 때문입니다. 

 

 

 

 

$$-x\left\{ f(x)+ax\right\}=-(x-\beta )^3(x-\gamma)-27$$

 

 

 

사차함수의 개형만 따로 떼어내서 봅시다. 

 

사차함수의 미분계수가 0이라는 점을 이용해볼까요?

$$-x\left\{ f(x)+ax\right\}+27=-(x-\beta )^3(x-\gamma)$$

 

$$x\left\{ f(x)+ax\right\}+27=i(x)$$

 

$$-i'(x)=3(x-\beta )^2(x-\gamma )+(x-\beta )^3$$

 

$$-i'(x)=(x-\beta )^2(3x-3\gamma +x-\beta )$$

 

$$-i'(0)=(0-\beta )^2(-3\gamma -\beta )=0$$

 

$$\beta =-3\gamma $$

 

사실 저는 사차함수의 비율관계까지는 외우지 않아서 그냥 미분을 통해 구해냅니다.

 

 

$$-x\left\{ f(x)+ax\right\}+27=-(x+3\gamma)^3(x-\gamma)$$

 

이제 좌변의 식이 0을 대입하면 싹 날아가버린다는 점을 이용하여 γ를 확정 지어줄 수 있겠네요

 

 

$$-27=-(0-3\gamma )(0-\gamma )^3$$

 

$27=27\gamma ^4$, $\gamma=1$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) $a+b$의 값 구하기

 

$$f(x)-4bx^2=x^2(x-9)$$

 

$$x\left\{ f(x)+ax\right\}-27=(x-1)(x+3)^3$$

 

두 함수를 알고 있으므로 연립을 한 번 시원하게 가봅시다. 0은 의미가 없으니 적당히 1, 2를 대입하여 연립해볼까요?

 

$f(1)-4b=-8$, $f(1)+a=27$

 

$4b+a=35$

 

$f(2)-16b=-28$, $f(2)+2a=76$

 

$16b+2a=104$, $8b+a=52$

 

$4b=17, a=18$

 

$a+b=\frac{17}{4}+18=\frac{89}{4}$ 정답은 4번이 되겠습니다.