[270321] 정적분으로 정의된 함수 [정답률 16%]

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 일단 양변 미분 때리기, (가) 조건 이용

 

일단 양변을 미분 때려줍니다. 어차피 $f(0) = 0$ 정도를 제외하면 전부 $g'(x)$와 관련된 정보입니다.

 

$$g'(x)=0,\left [ \leq f(x) \right ]$$

$$g'(x)=2f(x),\left [ 0> f(x) \right ]$$

 

아마 절댓값에 대한 감각이 있었던 N수생들의 경우 무난하게 풀었을 법 한 문제입니다

 

 

 

 

 

 

결국 여기서 (가) 조건을 이용해주는 겁니다.

 

 

대충 삼차함수인 $2f(x)$가 이와 같이 들어가게 될 것인데 

 

 

0보다 큰 부분을 전부 여 하나 썰고 저 하나 썰고 해주시면 그게 바로 $g'(x)$의 개형인 것이죠.

 

 

근데 조건을 다시 한 번 보시면 k보다 큰 모든 x에 대하여 $g'(x)=0$을 만족하게 되는 실수 k의 최솟값이 2라고 합니다. 본능적으로 x = 2에서 실근을 가진다는 것을 눈치채면 되겠죠?

 

 

하지만 이딴식으로 그려버리면 2보다 큰 실수 x 중 $g'(x)=0$을 만족시키지 않아버리는 부분이 존재하므로, 결국 2 이상의 모든 실수 x에 대하여 $2f(x)>0$이 되어야 합니다.

 

 

 

결국 (가) 조건을 만족시키는 함수 $g'(x)$의 개형은 다음과 같습니다. 2이상의 모든 실수에서 $g'(x)=0$을 만족하지 않나요?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 조건 (나)를 통한 함수 $f(x)$ 확정시키기

 

 

 

0부터 2까지 $g'(x)$를 적분한 값이 -8이라는 의미입니다.

 

$$2f(x)=2x(x-2)(x-\alpha )$$

 

$$\int_{0}^{2}\left\{ 2x^3-2(\alpha +2)x^2+4\alpha x\right\}dx=-8$$

 

$$\frac{2^4}{2}-\frac{2\left ( \alpha +2 \right )2^3}{3}+2^3\alpha=-8$$

 

$$\alpha=-2$$

 

$$f(x)=x(x-2)(x+2)$$

 

$$f(4)=4\times 2\times 6=48$$