[260615] 분리함수 추론 [정답률 20%]

 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 
 
 
 

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[ 풀이 과정 ]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Step 1) 조건 (가)를 만족하는 함수 g(x) 찾기
 
 
일단 모든 실수 a에 대하여 미분계수의 우극한이 존재해야합니다. 여기서 주의해야 할 점은 $ \displaystyle \lim_{x \to a+}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$가 의미하는 것이 함수 $g(x)$의 $x = a$에서의 미분계수는 맞지만 우극한만 존재하면 되므로, 미분이 불가능한 점이더라도 존재 할 수 있는 것이죠.
 
 
 
 

 
함수 g(x)는 다음과 같이 $x>1,x<-1$인 상황에서는 $g(x)=f(x)+k$이며, $-1\leq x\leq 1$인 상황에서는 $g(x)=-f(x)$로 나뉘어지는 구간 분리 함수입니다.
 
-1, 1 정도가 함수 $g(x)$의 함수 자체가 바뀌어서 $ \displaystyle \lim_{x \to a+}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$의 값이 존재하지 못 할 수 있는 의심이 있는 점입니다. 
 

$$ \displaystyle \lim_{x \to 1+}\frac{f(x)-k-g(1)}{x-1}$$

 
a = 1 인 경우를 살펴봅시다.
 

$ \displaystyle \lim_{x \to 1+}\frac{f(x)-k+f(1)}{x-1}$,

 
 
$g(1) = -f(1)$이므로 다음과 같이 식을 바꿔 줄 수 있으며, 우극한값이 존재하기 위해서는 $2f(1)-k=0$, $2f(1)=k$를 만족해야합니다. 즉 함수 $g(x)$가 $x = 1$에서 연속이어야 합니다.
 
 
a = -1 인 경우를 살펴봅시다.
 

$$ \displaystyle \lim_{x \to -1+}\frac{-f(x)+f(-1)}{x-1}$$

 

$$ \displaystyle \lim_{x \to -1+}\frac{-\left\{ f(x)-f(-1)\right\}}{x-1}$$

 
사실 a = -1인 경우, 함수 $f(x)$가 -1에서 연속이기만 하면 조건을 만족하는데 함수 $f(x)$는 다항함수이므로 $g(x)$의 개형에 구애받지 않고 항상 존재하게 됩니다.
 
또한 함수 g(x)의 모든 미분계수가 0 이하임을 만족해야합니다.
 
$f(x)+k$를 미분한 $f'(x)$ 그래프는 $x>1,x<-1$ 범위에서 0 혹은 음수가 되어야 하며, $-f(x)$를 미분한 그래프 $-f'(x)$는 $-1\leq x\leq 1$ 범위에서 0 혹은 음수가 되어야 합니다. 
 
즉 둘을 종합해보면 함수 $f'(x)$는 $x>1,x<-1$ 범위에서 0 혹은 음수, $-1\leq x\leq 1$ 범위에서 0 혹은 양수를 만족해야하므로 함수 $f'(x)$가 다음과 같아집니다.
 
 
 

 

$$f'(x)=3a(x-1)(x+1)$$

 
함수 $f'(x)$는 최고차항 계수가 음수며, 두 실근이 각각 1, -1인 이차함수입니다. 또한 발문의 조건에서 $f'(0) = 6$이므로 $-3a = 6$, $a = -2$가 되겠군요.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Step 2) 조건 (나) 해석을 통해 관계식 얻어내기
 
 
 

 
함수 $g(x)$를 조건 (가)에서 얻은 정보를 토대로 그려본다면 다음과 같은 상황이 됩니다. x = -1, 1에서 미분계수가 0이고 나머지 구간에서는 항상 증가하는 함수입니다. 
 
 
 
 
 

이 상황에서 실근 2개를 가지기 위한 실수 t의 최댓값은 다음과 같이 극대점에 그어지게 되겠으며 $g(-1)=13$, $f(-1)=-13$이라는 정보를 얻을 수 있겠네요.
 

$$f(x)=-2x^3+6x+C$$

 
즉 도함수의 부정적분을 구해서 $f(x)$를 구한 뒤, $f(-1)=-13$임을 이용하여 C의 값을 특정해주면 $C=-9가 나옵니다.
 
$f(1)=-5=5+k$ 또한 함수 $g(x)$가 1에서 연속, $-f(1)=f(1)+k$을 이용하여 $k = 10$으로 구해줄 수 있습니다.
 

$$k+f\left ( \frac{1}{2} \right )=10-6-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$$

 
정답은 1번이 나오네요 !