[260721] 정적분 고난도 문제 (정답률 13%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Step 1) 문제에서 주어진 상황 해석

 

$f(x)=-x(x-k)$

 

함수 $f(x)$는 이차함수로 전혀 복잡하지 않은 함수입니다. 일단 1사분면 위의 점이 되어야하므로 k의 범위를 문제에서 친절하게 주었습니다.

 

접선의 방정식인 $g(x)$의 x절편을 구해봅시다. 

 

$$g(x)=\left ( -2a+k \right )(x-a)-a^2+ka$$

 

일차함수인 $g(x)=0$이 되는 근을 구해주면 그 근이 $g(x)$의 x절편이 됩니다.

 

 

 

근데 생각해보니 상황을 직접 그려서 보는게 더 나을 듯 하네요. 일단 a라는 점은 고정된 점이므로 아무데나 대충 찍어서 파악을 해봅시다. $\left ( a>\frac{k}{2} \right )$이므로 극대보다 더 오른쪽에 점 A가 존재해야 합니다.

 

 

 

 

 

다음처럼 점 A에서 x축에 내린 수선의 발을 H라고 두겠습니다. 발문 상 $\triangle {AOB}=S$입니다. ($\frac{k}{2}$가 아닌 k인데 잘못 적었습니다 고치기 귀찮음)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 조건 (가), (나)를 통해 미지수 구해주기

 

 

 

 

 

$$\int_{a}^{b}g(x)dx=\triangle {AHB}=\triangle {AOB}=S$$

 

즉 $\triangle {AHB}=\triangle {AOB}$를 만족하고, 두 삼각형의 높이가 $\overline{AH}$로 동일한 높이를 공유하므로 $\overline{OH}$=$\overline{HB}$를 만족하게 됩니다.

 

즉 $b=2a$가 되겠죠? 함수 $g(x)$의 x절편이 2a이므로 대입하면 성립하겠네요.

 

 

$$g(2a)=\left ( -2a+k \right )(2a-a)-a^2+ka=0$$

 

 

$2k=3a$

 

 

$$g(x)=\left ( -2a+\frac{3a}{2} \right )(x-a)-a^2+\frac{3a^2}{2}$$,

 

 

$$f(x)=-x^2+\frac{3a}{2}x$$

 

 

$$\int_{0}^{a}\left\{ f(x)-\frac{a}{2}x\right\}=\int_{0}^{a}\left ( -x^2+ax \right )$$

 

 

$$\int_{0}^{a}\left\{ -x^2+ax\right\}=\frac{32}{3}$$

 

 

$$\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}=\frac{32}{3}$$

 

 

$\frac{a^3}{6}=\frac{32}{3}$,  $a^3=64$,  $a=4$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) $g(-k)=g(-6)$의 값 구하기

 

$g(x)=-2(x-8)$, $g(6)=-2(-14)=28$