[241112] 정적분의 최댓값 (정답률 55%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 함수 $g(x)$ 분석

 

$g(x)$는 $x = t$를 기준으로 삼차함수와 직선으로 분리된 함수입니다. 일단 (t, f(t))를 반드시 지나며 기울기가 -1인 직선인 것이죠.

 

또한 삼차함수 $f(x)$는 아예 함수에 대한 식이 주어져 있습니다.

 

 

 

결국 문제에서 요구하는 바가 무엇이냐면 $0<x<6$ 범위에서 함수 $f(x)$ 위의 점 (t, f(t))를 임의로 잡은 뒤, (t,f(t))를 지나고, t보다 큰 구간에서는 그려져 있는 삼차함수 대신 기울기가 -1인 직선을 그리라는 뜻입니다. 

 

그 상황에서 언제가 넓이가 최대가 되냐는 문제이죠.

 

 

 

뭐 대충 이해를 돕기 위해 $t = 2$로 잡아 본 결과입니다. 사실 t의 값을 하나하나씩 넣어가며 최대를 구하는 것은 말이 안되는 풀이입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 넓이가 최대가 되는 상황 찾기

 

결국 기울기가 -1인 직선이 함수 $f(x)$에 접하는 접점이 t가 되면 둘러쌓인 넓이가 최대가 되지 않을까요?

 

 

 

 

접점이 아닌 경우 $g(x)$와 x축으로 둘러쌓인 부분의 넓이는 다음처럼 삼차함수의 일부분 + 직각삼각형의 넓이가 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t가 접점이 된다면 다음과 같이 삼차함수의 일부분도 매우 커진 상황이고, 직각삼각형의 넓이도 어차피 기울기가 -1이므로 높이가 가장 높을 때가 넓이가 가장 커지는 상황이니까 직각삼각형의 넓이가 최대가 되는 상황입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

t가 접점과 아주 조금만 떨어져도 직각삼각형의 넓이는 더욱 작아지며, 삼차함수로 둘러쌓인 부분 역시 더욱 작아집니다. 

 

 

 

 

 

 

즉 다음 상황일 때가 삼차함수로 둘러쌓인 넓이가 최대가 되는 상황 + 직각삼각형 마저 가장 커지는 상황이 되겠습니다.

 

$0<t<6$인 상황이므로 $t>6$인 상황은 신경 쓰지 않아도 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 접점 t 구해내기 + 넓이 구하기

 

 

$$\frac{1}{3}\left ( t^2-10t+18 \right )=f'(t)$$

 

$$\frac{1}{3}\left ( t^2-10t+18 \right )=-1$$

 

$$\frac{1}{3}\left ( t^2-10t+18+3 \right )=0$$

 

$$\frac{1}{3}\left ( t-7 \right )\left ( t-3 \right )=0$$

 

$t=3$ ($0<t<6$)

 

접점 t의 좌표를 구해냈습니다.

 

$f(3)=6$

 

점 (3, 6)을 지나고 기울기가 -1인 직선이므로 직각삼각형의 넓이인 $S_2$는 다음과 같이 구해 줄 수 있습니다.

 

$$S_2=6^2\times \frac{1}{2}=18$$

 

이제 다음의 정적분 값만 계산해준 뒤 더해주면 되겠네요.

 

 

$$\frac{1}{9}\int_{0}^{3}\left ( x^3-15x^2+54x \right )dx=S_1$$

 

$$\frac{1}{9}\left [ \frac{x^4}{4}-5x^3+27x^2 \right ]^3_0=S_1$$

 

$$\frac{1}{9}\left ( \frac{81}{4}+4\times 27 \right )=S_1$$

 

$$\frac{9}{4}+4\times 3=S_1$$

 

$$\frac{9}{4}+12+18=S_1+S_2=\frac{129}{4}$$

 

정답은 3번이 되겠습니다. 추론도 깊게 들어가고 계산량도 만만치 않은 문제였는데 의외로 매우 높은 정답률을 기록하고 있네요?