[241120] 수직을 이루는 두 접선 [정답률 15%]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

 

[ 풀이 과정 ]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Step 1) 문제 상황 파악
 
일단 문제를 풀기에 앞서 발문에서 중요하게 잡고 들어가야할 부분이 있습니다. 결국 $\overline{OA}\times\overline{AB}$의 값을 구해야 하는데 $\overline{OB}$를 지름으로 하는 원 위의 점이 A입니다. 지름으로 하는 원 위의 점 A는 무조건 각도가 직각 일 수 밖에 없습니다.
 
즉, $\overline{OA}$와 $\overline{AB}$는 수직을 이루는 직선이죠. 
 
그러므로 두 선분의 기울기의 곱이 -1이라는 사실을 적극적으로 활용 할 생각을 해봐야죠.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Step 2) $f(x)$의 원점에서의 접선 구하기, $\overline{OA}$와 $\overline{AB}$ 기울기 곱 -1 이용
 
원점에서의 접선의 방정식은 구하기가 매우 쉽습니다. 어차피 원점을 지나는 직선이므로 $f'(0)x=y$와 같은 상수항 부분이 없는 일차함수 꼴이 될 것이고, $f'(0)=2$ 일차항의 계수가 2이므로 사실 3초면 접선의 방정식을 구할 수 있습니다.
 
이제 $f(x)-2x=g(x)$라고 가정한다면, $g(x)=-x^3+ax^2$, $g(x)=-x^2(x-a)$ 라는 사실을 알 수 있습니다.
 
즉 $f(x)=y$와 $2x=y$는 점 0에서 접하고, a에서 만난다는 사실이므로 점 A의 좌표를 $(a, f(a))$로 잡고 갈 수 있습니다.
 
a에서의 접선의 기울기는 $f'(a)=-\frac{1}{2}$ 곱해서 -1이 나와야 하므로 다음과 같이 잡아 줄 수 있습니다.
 

$f'(a)=-3a^2+2a^2+2$

 

$f'(a)=2-a^2=-\frac{1}{2}$

 

$a^2=\frac{5}{2}$

 

$a=\frac{\sqrt{10}}{2}$

 
즉 점 A의 좌표는 $A = \left ( \frac{\sqrt{10}}{2}, \sqrt{10} \right )$ 
 
$\overline{OA}^2$의 길이는 $\frac{5}{2}+10=\frac{25}{2}$ 
 
$\overline{OA}=\frac{5}{\sqrt{2}}$
 
 
 
 
점 A에서의 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있습니다. 
 

$-\frac{1}{2}\left ( x-\frac{\sqrt{10}}{2} \right )+\sqrt{10}=y$

 
$\triangle{OAB}$은 직각삼각형이므로 $\overline{OA}^2+\overline{AB}^2=\overline{OB}^2$ 다음 식을 만족합니다.
 
점 A에서의 접선의 방정식의 x절편이 곧 $\overline{OB}$의 길이이므로 x절편을 구해줍시다.
 
 

$-\frac{1}{2}\left ( \frac{5\sqrt{10}}{2}-\frac{\sqrt{10}}{2} \right )+\sqrt{10}=0$

 

$x=\frac{5\sqrt{10}}{2}$, $\overline{OB}= \frac{5\sqrt{10}}{2} $

 
 
$\overline{OA}^2+\overline{AB}^2=\overline{OB}^2$에 의하여 
 
 

$\overline{AB}^2=\frac{125}{2}-\frac{25}{2}=50$

 
 
$\overline{AB}=5\sqrt{2}$, $\overline{OA}=\frac{5}{\sqrt{2}}$
 
 

$\overline{OA}\times\overline{AB} =\frac{5}{\sqrt{2}}\times 5\sqrt{2}=25$

 
정답은 25로 깔끔하게 나오게 됩니다.