[241110] 기본적인 위치, 속도 문제 [정답률 45%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 두 점 P, Q 사이의 거리에 대한 함수 $f(t)$ 구하기

 

시각 $t = 0$에서 둘 다 원점을 출발하므로 $v_1(t)$, $v_2(t)$의 적분 상수는 둘 다 0이 됩니다. 

 

$$x_1(t)=\frac{1}{3}t^3-3t^2+5t$$

 

$$x_2(t)=t^2-7t$$

 

다음과 같이 두 점 P, Q에 대한 위치함수인 $x_1(t)$, $x_2(t)$ 까지는 어렵지 않게 구해 줄 수 있을 것이라 믿습니다.

 

사실 가장 중요한 점은 $f(t)$는 거리에 대한 함수이므로 두 위치의 차이에 절댓값을 붙여주어야 합니다. 

 

$$f(t)=\left | x_1(t)-x_2(t)\right |$$

 

물론 이번 문제에서는 상황이 절묘하게 나와서 절댓값을 붙이든 붙이지 않든 정답이 똑같이 구해졌지만 절댓값을 씌우는 것을 놓친 친구들은 다음부터 조심해야합니다.

 

어차피 절댓값이 씌워져 있으므로 $\left | x_1(t)-x_2(t)\right |$를 하든 $\left | x_2(t)-x_1(t)\right |$를 하든 아무런 상관이 없지만 그래도 최고차항이 양수인 걸 선호하므로 $\left | x_1(t)-x_2(t)\right |$로 잡아주겠습니다.

 

$$f(t)=\left | \frac{1}{3}t^3-4t^2+12t\right |$$

다음과 같이 함수 $f(t)$를 구해주었습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) $f'(t)$의 도함수를 통해 증감 파악

 

그냥 절댓값을 풀어준 뒤 미분을 하여 도함수를 구해줍니다. 

 

$$g(t)=\frac{1}{3}t^3-4t^2+12t$$

 

$$g'(t)=t^2-8t+12$$

 

$$g'(t)=(t-2)(t-6)$$

 

함수 $f(t)$는 $x = 2$, $x = 6$에서 극값을 가지게 됩니다. 극솟값인지 극댓값인지는 사실 절댓값이 씌워져 있으므로 알 수 없지만 일단 함수 $g(t)$를 그려본 뒤 파악해줍니다.

 

 

$$g(t)=\frac{1}{3}t\left ( t-6 \right )^2$$

 

함수 $g(t)$는 $t = 6$에서 중근을 가지므로 $t = 6$에서 극솟값을 가지게 됩니다. $f(t)$는 $t<0$인 구간을 제외하면 $g(t)$와 동일한 함수가 되겠네요.

 

 

함수 $f(t)$의 개형은 다음과 같습니다. $f(t)$는 구간 $[0,2]$에서 증가하고, $[2,6]$에서 감소합니다. 또한 다시 $[6,\infty )$에서 증가하므로 a = 2, b = 6 임을 알 수 있습니다. (사실 절댓값을 씌우지 않아도 모순이 나오지만 대충 감으로 찍어서 맞출 수 있습니다.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) $\int_{2}^{6}\left | v_2(t)\right |dt$ 계산하기

 

움직인 거리이므로 절댓값을 씌운 뒤 적분해야합니다. 사실 $v_2(t)$는 일차함수이므로 직선 꼴이잖아요? 적분 계산을 $\left | 2x-7\right |$ 와 $x=2$, $x=6$으로 둘러쌓인 직각삼각형의 넓이의 합으로 구해주는 것이 더욱 직관적 일 수 있습니다.

 

 

 

$$\int_{2}^{6}\left | v_2(t)\right |dt=S_1+S_2=\frac{9}{4}+\frac{25}{4}=\frac{17}{2}$$

 

어렵지 않게 정답은 2번을 골라 줄 수 있겠습니다.