[260715] 다항함수의 미분가능성 추론 (정답률 22%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 조건 가 해석

 

 

함수 $g(x)$는 x = b를 제외한 전 구간에서는 미분 가능하다는 뜻이므로 함수가 분리되는 x = 0에서도 미분이 가능해야 합니다.

 

$ \left | f(0)\right |=\left\{ f(0)\right\}^2$

 

$\left | b\right |=b^2$, $b=\pm1$

 

즉 b는 0 혹은 1이거나 -1 중 하나여야 합니다.

 

여기까지가 연속 조건을 만족하기 위한 등식이었으며 미분까지 가능해야합니다.

 

$$\left | a\right |=2ab$$

 

x = 0에서 미분이 가능해야 하므로 $\left/{f(x)\right\}^2$를 전개 한 뒤 미분 후 0을 대입하신 결과가 다음과 같습니다.

 

b = 1 혹은 -1이었으므로 다음과 같은 a,b의 순서 쌍이 나오게 됩니다.

 

a = 2, b = 1 

a = -2, b = -1

a = 0, b = 0

a = 0, b = 1

a = 0, b = -1 

 

2ab가 양수여야 하기 때문이죠.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 조건 나 해석

 

조건 가에서부터 알 수 있지만 가능한 $f(x)$는 꽤나 많습니다. 일단 하나의 순서쌍을 선택해서 $g(x)$가 어떻게 되는지 관찰해볼까요?. 

 

$f(x)=x^2-2x-1$ or $f(x)=x^2+2x+1$

 

이제 함수 $g(x) = 0$이 음의 실근을 가진다는 점을 이용하여 추론을 해봅시다.

 

$g(x)=\left | x^2+ax+b\right |-x^2$

 

음의 실근을 가지기 위해서는 x가 0보다 작은 구간에서 실근이 존재해야합니다. 즉 위 함수 g(x)가 0보다 작은 구간에서 실근이 존재함과 동시에 $x=b$를 제외한 모든 구간에서 전부 미분이 가능하다면 조건을 만족하는 f(x)를 확정 할 수 있게 됩니다. 

 

 

$$\left | x^2-2x-1\right |-x^2$$

 

일단 그래프를 한 번 그려볼까요? 

 

 

$$\left | (x-1)^2-2\right |-x^2$$

 

함수 $g(x)$의 0보다 작은 부분이며 절댓값 안이 0이 되기 위해서는 $x=1+\sqrt{2}$ 혹은 $x=1-\sqrt{2}$입니다. 

 

 

 

$g(x)=-2x-1,[1-\sqrt{2}\leq x\leq 0]$

 

$g(x)=2x+1,[x<1-\sqrt{2}]$

 

즉 함수 $g(x)$는 다음과 같은 분리함수로 볼 수 있겠으며, 결국 함수가 분리되는 부분에서 미분이 가능해야하는데 양 쪽을 미분해보면 x의 값과 관계없이 항상 $x=1-\sqrt{2}$에서 미분이 불가능합니다.

 

즉 순서쌍을 잘 이용하여 위와 같이 분리함수를 만들고, b 에서만 미분이 불가능하게 만들라는게 문제에서 요구하는 바입니다. 결국 절댓값이 붙어있는 0보다 작은 구간에서 미분이 불가능 할 여지가 있으며, $g(x)$가 분리되는 x = 0에서 역시 미분이 불가능 할 여지가 있으므로  b는 일단 음수 혹은 0이어야만 합니다.

 

그럼 함수 $f(x)$는 -1이라는 실근을 일단 가져야만 분리 함수를 만들 수 있으므로 처음에 적어뒀던 순서쌍으로 만들 수 있는 함수 중 $f(-1)=0$이 되는 케이스를 찾아오면 되겠네요.

 

 

 

$$f(x)=x^2-1$$

 

적어 두었던 순서 쌍 중 a = 0, b = -1인 경우만이 다음 조건을 모두 만족합니다. -1이라는 인수를 가지고 있으며, b가 -1으로 음수이기 때문이죠. 

 

일단 이 상황이 답이 될 것이라고 확신하긴 하지만 일단 검증을 해봐야겠죠?

 

 

$$g(x)=-1,[x<-1]$$

 

$$g(x)=-2x^2+1,[-1<x\leq 0]$$

 

일단 $x = b = -1$에서 죽어도 불연속인건 확실합니다. 또한 $g(x)=-2x^2+1$의 실근은 $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$입니다.

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$는 -1보다 큰 수이므로 나 조건 중 하나였던 음의 실근을 가지겠네요 

 

결국 함수 $f(x) = x^2-1$으로 확정이 나게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 함수 $f(x)$ 확정 완료! 답 구해내기

 

$$g\left ( -\frac{1}{2} \right )=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ 

 

$$g(3)=(9-1)^2+27=91$$

 

$$g\left ( -\frac{1}{2} \right )+g(3)=\frac{1+182}{2}=\frac{183}{2}$$

 

다항함수에 대한 추론을 깊게 해야하는 15번의 포스를 제대로 보여준 문제였습니다.